Theorem 2idlcpbl 13864

Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlcpblrng.x	|- X = ( Base ` R )
2idlcpblrng.r	|- E = ( R ~QG S )
2idlcpblrng.i	|- I = (2Ideal ` R )
2idlcpblrng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idlcpbl	|- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( ( A E C /\ B E D ) -> ( A .x. B ) E ( C .x. D ) ) )

Proof of Theorem 2idlcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 13415	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Rng )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> R e. Rng )
3		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> S e. I )
4		eqid 2189	. . . . 5 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
5		eqid 2189	. . . . 5 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
6		eqid 2189	. . . . 5 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
7		2idlcpblrng.i	. . . . 5 |- I = (2Ideal ` R )
8	4, 5, 6, 7	2idlelb 13845	. . . 4 |- ( S e. I <-> ( S e. (LIdeal ` R ) /\ S e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
9	8	simplbi 274	. . 3 |- ( S e. I -> S e. (LIdeal ` R ) )
10	4	lidlsubg 13827	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S e. (LIdeal ` R ) ) -> S e. (SubGrp ` R ) )
11	9, 10	sylan2 286	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> S e. (SubGrp ` R ) )
12		2idlcpblrng.x	. . 3 |- X = ( Base ` R )
13		2idlcpblrng.r	. . 3 |- E = ( R ~QG S )
14		2idlcpblrng.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
15	12, 13, 7, 14	2idlcpblrng 13863	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ S e. I /\ S e. (SubGrp ` R ) ) -> ( ( A E C /\ B E D ) -> ( A .x. B ) E ( C .x. D ) ) )
16	2, 3, 11, 15	syl3anc 1249	1 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( ( A E C /\ B E D ) -> ( A .x. B ) E ( C .x. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4021   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   Basecbs 12523   .rcmulr 12601  SubGrpcsubg 13131   ~_QG cqg 13133  Rngcrng 13311   Ringcrg 13375  opp_rcoppr 13442  LIdealclidl 13808  2Idealc2idl 13840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-tpos 6274  df-er 6563  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-ip 12618  df-0g 12774  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-sbg 12973  df-subg 13134  df-eqg 13136  df-cmn 13250  df-abl 13251  df-mgp 13300  df-rng 13312  df-ur 13339  df-ring 13377  df-oppr 13443  df-subrg 13591  df-lmod 13630  df-lssm 13694  df-sra 13776  df-rgmod 13777  df-lidl 13810  df-2idl 13841

This theorem is referenced by:  qus1  13866  qusmul2  13868