Theorem 2idlcpbl 14156

Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlcpblrng.x	|- X = ( Base ` R )
2idlcpblrng.r	|- E = ( R ~QG S )
2idlcpblrng.i	|- I = (2Ideal ` R )
2idlcpblrng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idlcpbl	|- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( ( A E C /\ B E D ) -> ( A .x. B ) E ( C .x. D ) ) )

Proof of Theorem 2idlcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 13668	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Rng )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> R e. Rng )
3		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> S e. I )
4		eqid 2196	. . . . 5 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
5		eqid 2196	. . . . 5 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
6		eqid 2196	. . . . 5 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
7		2idlcpblrng.i	. . . . 5 |- I = (2Ideal ` R )
8	4, 5, 6, 7	2idlelb 14137	. . . 4 |- ( S e. I <-> ( S e. (LIdeal ` R ) /\ S e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
9	8	simplbi 274	. . 3 |- ( S e. I -> S e. (LIdeal ` R ) )
10	4	lidlsubg 14118	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S e. (LIdeal ` R ) ) -> S e. (SubGrp ` R ) )
11	9, 10	sylan2 286	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> S e. (SubGrp ` R ) )
12		2idlcpblrng.x	. . 3 |- X = ( Base ` R )
13		2idlcpblrng.r	. . 3 |- E = ( R ~QG S )
14		2idlcpblrng.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
15	12, 13, 7, 14	2idlcpblrng 14155	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ S e. I /\ S e. (SubGrp ` R ) ) -> ( ( A E C /\ B E D ) -> ( A .x. B ) E ( C .x. D ) ) )
16	2, 3, 11, 15	syl3anc 1249	1 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( ( A E C /\ B E D ) -> ( A .x. B ) E ( C .x. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   .rcmulr 12781  SubGrpcsubg 13373   ~_QG cqg 13375  Rngcrng 13564   Ringcrg 13628  opp_rcoppr 13699  LIdealclidl 14099  2Idealc2idl 14131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-er 6601  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-subg 13376  df-eqg 13378  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-rng 13565  df-ur 13592  df-ring 13630  df-oppr 13700  df-subrg 13851  df-lmod 13921  df-lssm 13985  df-sra 14067  df-rgmod 14068  df-lidl 14101  df-2idl 14132

This theorem is referenced by:  qus1  14158  qusrhm  14160  qusmul2  14161