ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitonnlem2 Unicode version

Theorem pitonnlem2 7848
Description: Lemma for pitonn 7849. Two ways to add one to a number. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
pitonnlem2  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  1 )  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
Distinct variable group:    K, l, u

Proof of Theorem pitonnlem2
StepHypRef Expression
1 df-1 7821 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
21oveq2i 5888 . . 3  |-  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  1 )  =  ( <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )
3 nnprlu 7554 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
4 1pr 7555 . . . . . . . 8  |-  1P  e.  P.
5 addclpr 7538 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P. )
63, 4, 5sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P. )
7 opelxpi 4660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P.  /\  1P  e.  P. )  ->  <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
86, 4, 7sylancl 413 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N.  ->  <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
9 enrex 7738 . . . . . . 7  |-  ~R  e.  _V
109ecelqsi 6591 . . . . . 6  |-  ( <.
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
118, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
12 df-nr 7728 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
1311, 12eleqtrrdi 2271 . . . 4  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )
14 1sr 7752 . . . 4  |-  1R  e.  R.
15 addresr 7838 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  ->  ( <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R ) ,  0R >. )
1613, 14, 15sylancl 413 . . 3  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R ) ,  0R >. )
172, 16eqtrid 2222 . 2  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  1 )  =  <. ( [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R ) ,  0R >. )
18 pitonnlem1p1 7847 . . . . 5  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P.  ->  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  =  [ <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
196, 18syl 14 . . . 4  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  =  [ <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
20 df-1r 7733 . . . . . 6  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
2120oveq2i 5888 . . . . 5  |-  ( [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R )  =  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
22 addclpr 7538 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
234, 4, 22mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
24 addsrpr 7746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  (
( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. ) )  -> 
( [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
254, 24mpanl2 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P.  /\  ( ( 1P  +P.  1P )  e. 
P.  /\  1P  e.  P. ) )  ->  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
2623, 4, 25mpanr12 439 . . . . . 6  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P.  ->  ( [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
276, 26syl 14 . . . . 5  |-  ( K  e.  N.  ->  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
2821, 27eqtrid 2222 . . . 4  |-  ( K  e.  N.  ->  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R )  =  [ <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
29 addpinq1 7465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) )
3029breq2d 4017 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  N.  ->  (
l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  l  <Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) ) )
3130abbidv 2295 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  N.  ->  { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  }  =  { l  |  l  <Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) } )
3229breq1d 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  N.  ->  ( [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u  <->  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) 
<Q  u ) )
3332abbidv 2295 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  N.  ->  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u }  =  { u  |  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  <Q  u } )
3431, 33opeq12d 3788 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  =  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) } ,  { u  |  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  <Q  u } >. )
35 nnnq 7423 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
36 addnqpr1 7563 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  <. { l  |  l 
<Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) } ,  {
u  |  ( [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) 
<Q  u } >.  =  (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) )
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) } ,  { u  |  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  <Q  u } >.  =  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) )
3834, 37eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  =  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )
)
3938oveq1d 5892 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  =  ( ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P. 
1P ) )
4039opeq1d 3786 . . . . 5  |-  ( K  e.  N.  ->  <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P. 
1P ) ,  1P >. )
4140eceq1d 6573 . . . 4  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
4219, 28, 413eqtr4d 2220 . . 3  |-  ( K  e.  N.  ->  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R )  =  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
4342opeq1d 3786 . 2  |-  ( K  e.  N.  ->  <. ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R ) ,  0R >.  = 
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
4417, 43eqtrd 2210 1  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  1 )  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   <.cop 3597   class class class wbr 4005    X. cxp 4626  (class class class)co 5877   1oc1o 6412   [cec 6535   /.cqs 6536   N.cnpi 7273    +N cpli 7274    ~Q ceq 7280   Q.cnq 7281   1Qc1q 7282    +Q cplq 7283    <Q cltq 7286   P.cnp 7292   1Pc1p 7293    +P. cpp 7294    ~R cer 7297   R.cnr 7298   0Rc0r 7299   1Rc1r 7300    +R cplr 7302   1c1 7814    + caddc 7816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-enr 7727  df-nr 7728  df-plr 7729  df-0r 7732  df-1r 7733  df-c 7819  df-1 7821  df-add 7824
This theorem is referenced by:  pitonn  7849  nntopi  7895
  Copyright terms: Public domain W3C validator