ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitonnlem2 Unicode version

Theorem pitonnlem2 7845
Description: Lemma for pitonn 7846. Two ways to add one to a number. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
pitonnlem2  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  1 )  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
Distinct variable group:    K, l, u

Proof of Theorem pitonnlem2
StepHypRef Expression
1 df-1 7818 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
21oveq2i 5885 . . 3  |-  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  1 )  =  ( <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )
3 nnprlu 7551 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
4 1pr 7552 . . . . . . . 8  |-  1P  e.  P.
5 addclpr 7535 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P. )
63, 4, 5sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P. )
7 opelxpi 4658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P.  /\  1P  e.  P. )  ->  <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
86, 4, 7sylancl 413 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N.  ->  <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
9 enrex 7735 . . . . . . 7  |-  ~R  e.  _V
109ecelqsi 6588 . . . . . 6  |-  ( <.
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
118, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
12 df-nr 7725 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
1311, 12eleqtrrdi 2271 . . . 4  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )
14 1sr 7749 . . . 4  |-  1R  e.  R.
15 addresr 7835 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  ->  ( <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R ) ,  0R >. )
1613, 14, 15sylancl 413 . . 3  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R ) ,  0R >. )
172, 16eqtrid 2222 . 2  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  1 )  =  <. ( [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R ) ,  0R >. )
18 pitonnlem1p1 7844 . . . . 5  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P.  ->  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  =  [ <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
196, 18syl 14 . . . 4  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  =  [ <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
20 df-1r 7730 . . . . . 6  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
2120oveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R )  =  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
22 addclpr 7535 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
234, 4, 22mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
24 addsrpr 7743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  (
( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. ) )  -> 
( [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
254, 24mpanl2 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P.  /\  ( ( 1P  +P.  1P )  e. 
P.  /\  1P  e.  P. ) )  ->  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
2623, 4, 25mpanr12 439 . . . . . 6  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P.  ->  ( [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
276, 26syl 14 . . . . 5  |-  ( K  e.  N.  ->  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
2821, 27eqtrid 2222 . . . 4  |-  ( K  e.  N.  ->  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R )  =  [ <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  )
29 addpinq1 7462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) )
3029breq2d 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  N.  ->  (
l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  l  <Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) ) )
3130abbidv 2295 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  N.  ->  { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  }  =  { l  |  l  <Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) } )
3229breq1d 4013 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  N.  ->  ( [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u  <->  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) 
<Q  u ) )
3332abbidv 2295 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  N.  ->  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u }  =  { u  |  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  <Q  u } )
3431, 33opeq12d 3786 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  =  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) } ,  { u  |  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  <Q  u } >. )
35 nnnq 7420 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
36 addnqpr1 7560 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  <. { l  |  l 
<Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) } ,  {
u  |  ( [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) 
<Q  u } >.  =  (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) )
3735, 36syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) } ,  { u  |  ( [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  <Q  u } >.  =  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) )
3834, 37eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  =  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )
)
3938oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  =  ( ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P. 
1P ) )
4039opeq1d 3784 . . . . 5  |-  ( K  e.  N.  ->  <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P. 
1P ) ,  1P >. )
4140eceq1d 6570 . . . 4  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
4219, 28, 413eqtr4d 2220 . . 3  |-  ( K  e.  N.  ->  ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R )  =  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
4342opeq1d 3784 . 2  |-  ( K  e.  N.  ->  <. ( [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  1R ) ,  0R >.  = 
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
4417, 43eqtrd 2210 1  |-  ( K  e.  N.  ->  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  +  1 )  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  } ,  {
u  |  [ <. ( K  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   <.cop 3595   class class class wbr 4003    X. cxp 4624  (class class class)co 5874   1oc1o 6409   [cec 6532   /.cqs 6533   N.cnpi 7270    +N cpli 7271    ~Q ceq 7277   Q.cnq 7278   1Qc1q 7279    +Q cplq 7280    <Q cltq 7283   P.cnp 7289   1Pc1p 7290    +P. cpp 7291    ~R cer 7294   R.cnr 7295   0Rc0r 7296   1Rc1r 7297    +R cplr 7299   1c1 7811    + caddc 7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-iplp 7466  df-enr 7724  df-nr 7725  df-plr 7726  df-0r 7729  df-1r 7730  df-c 7816  df-1 7818  df-add 7821
This theorem is referenced by:  pitonn  7846  nntopi  7892
  Copyright terms: Public domain W3C validator