Theorem plymullem1 15475

Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyaddlem.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b	|- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
plymullem1	|- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   k, n, B   k, M, n   k, N, n   z, k, ph, n

Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k, n)   F( z, k, n)   G( z, k, n)   M( z)   N( z)

Proof of Theorem plymullem1

Dummy variables m j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8156	. . . 4 |- CC e. _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3		0zd 9491	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4		plyaddlem.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
5	4	nn0zd 9600	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6	3, 5	fzfigd 10694	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8		plyaddlem.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> CC )
10		elfznn0 10349	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
11	10	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
12	9, 11	ffvelcdmd 5783	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
13		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> z e. CC )
14	13, 11	expcld 10936	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
15	12, 14	mulcld 8200	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
16	7, 15	fsumcl 11963	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
17		plyaddlem.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
18	17	nn0zd 9600	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
19	3, 18	fzfigd 10694	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
21		plyaddlem.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
22	21	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B : NN0 --> CC )
23		elfznn0 10349	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
24	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
25	22, 24	ffvelcdmd 5783	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
26		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> z e. CC )
27	26, 24	expcld 10936	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
28	25, 27	mulcld 8200	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
29	20, 28	fsumcl 11963	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
30		plyaddlem.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
31		plyaddlem.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
32	2, 16, 29, 30, 31	offval2 6251	. 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
33		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( B ` m ) = ( B ` n ) )
34		oveq2 6026	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( z ^ m ) = ( z ^ n ) )
35	33, 34	oveq12d 6036	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) )
36	35	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
37		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( B ` m ) = ( B ` ( n - k ) ) )
38		oveq2 6026	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( z ^ m ) = ( z ^ ( n - k ) ) )
39	37, 38	oveq12d 6036	. . . . . . 7 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
40	39	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
41		elfznn0 10349	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> k e. NN0 )
42	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
43	42	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
44		expcl 10820	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
45	44	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
46	43, 45	mulcld 8200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
47	41, 46	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
48		elfznn0 10349	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> n e. NN0 )
49	21	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
50	49	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( B ` n ) e. CC )
51		expcl 10820	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
52	51	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
53	50, 52	mulcld 8200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
54	48, 53	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
55	47, 54	anim12dan 604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) )
56		mulcl 8159	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
57	55, 56	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
58	5, 18	zaddcld 9606	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
59	58	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
60	36, 40, 57, 59	fisum0diag2 12010	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
61	4	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. CC )
62	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> M e. CC )
63	17	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
64	63	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. CC )
65	11	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. CC )
66	62, 64, 65	addsubd 8511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) = ( ( M - k ) + N ) )
67		fznn0sub 10292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> ( M - k ) e. NN0 )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. NN0 )
69		nn0uz 9791	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
70	68, 69	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
71	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. ZZ )
72		eluzadd 9785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
74	66, 73	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
75	64	addlidd 8329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 + N ) = N )
76	75	fveq2d 5643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
77	74, 76	eleqtrd 2310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) )
78		fzss2 10299	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
80	10, 46	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
81	80	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
82		elfznn0 10349	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. NN0 )
83	82, 53	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
84	83	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
85	81, 84	mulcld 8200	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
86		eldifn 3330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
88		eldifi 3329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
89	88, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. NN0 )
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. NN0 )
91		peano2nn0 9442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
92	17, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
93	92, 69	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
94		uzsplit 10327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
96	69, 95	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
97		ax-1cn 8125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. CC
98		pncan 8385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
99	63, 97, 98	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
100	99	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
101	100	uneq1d 3360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
102	96, 101	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
103	102	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
104	90, 103	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
105		elun 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
106	104, 105	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
107	106	ord 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. n e. ( 0 ... N ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
108	87, 107	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
109	21	ffund 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Fun B )
110		ssun2 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
111	110, 96	sseqtrrid 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
112	21	fdmd 5489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom B = NN0 )
113	111, 112	sseqtrrd 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
114		funfvima2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
115	109, 113, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
116	115	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
117	108, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
118		plyaddlem.b2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
119	118	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
120	117, 119	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. { 0 } )
121		elsni 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B ` n ) e. { 0 } -> ( B ` n ) = 0 )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) = 0 )
123	122	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( 0 x. ( z ^ n ) ) )
124	13, 89, 51	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
125	124	mul02d 8571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ n ) ) = 0 )
126	123, 125	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = 0 )
127	126	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) )
128	80	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
129	128	mul01d 8572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) = 0 )
130	127, 129	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
131		elfzelz 10260	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> j e. ZZ )
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> j e. ZZ )
133		0zd 9491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> 0 e. ZZ )
134	71	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> N e. ZZ )
135		fzdcel 10275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
136	132, 133, 134, 135	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
137	136	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A. j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) )DECID j e. ( 0 ... N ) )
138		0zd 9491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. ZZ )
139	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
140	11	nn0zd 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. ZZ )
141	139, 140	zsubcld 9607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
142	138, 141	fzfigd 10694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
143	79, 85, 130, 137, 142	fisumss 11955	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
144	143	sumeq2dv 11930	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
145		0zd 9491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
146	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> M e. ZZ )
147	145, 146	fzfigd 10694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
148	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
149	145, 148	fzfigd 10694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
150	147, 149, 80, 83	fsum2mul 12016	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
151	61, 63	addcomd 8330	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + N ) = ( N + M ) )
152	17, 69	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
153		eluzadd 9785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
154	152, 5, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
155	61	addlidd 8329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
156	155	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
157	154, 156	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
158	151, 157	eqeltrd 2308	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
159		fzss2 10299	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
160	158, 159	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
161	160	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
162	80	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
163	54	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
164	162, 163	mulcld 8200	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
165	142, 164	fsumcl 11963	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
166		eldifn 3330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
168		eldifi 3329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
169	168, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
170	169	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
171		peano2nn0 9442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
172	4, 171	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
173	172, 69	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
174		uzsplit 10327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
176	69, 175	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
177		pncan 8385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
178	61, 97, 177	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
179	178	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
180	179	uneq1d 3360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
181	176, 180	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
182	181	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
183	170, 182	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
184		elun 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
185	183, 184	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
186	185	ord 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
187	167, 186	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
188	8	ffund 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun A )
189		ssun2 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
190	189, 176	sseqtrrid 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
191	8	fdmd 5489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom A = NN0 )
192	190, 191	sseqtrrd 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
193		funfvima2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
194	188, 192, 193	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
195	194	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
196	187, 195	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
197		plyaddlem.a2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
198	197	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
199	196, 198	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
200		elsni 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
201	199, 200	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
202	201	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
203	169, 45	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
204	203	mul02d 8571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
205	202, 204	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
206	205	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
207	206	oveq1d 6033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
208	54	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
209	208	mul02d 8571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
210	207, 209	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
211	210	sumeq2dv 11930	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 )
212		0zd 9491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> 0 e. ZZ )
213	59	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
214	170	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ZZ )
215	213, 214	zsubcld 9607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
216	212, 215	fzfigd 10694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
217	216	olcd 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) )
218		isumz 11952	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
219	217, 218	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
220	211, 219	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
221		elfzelz 10260	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
222	221	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> j e. ZZ )
223		0zd 9491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
224	146	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> M e. ZZ )
225		fzdcel 10275	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
226	222, 223, 224, 225	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
227	226	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... ( M + N ) )DECID j e. ( 0 ... M ) )
228	146, 148	zaddcld 9606	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
229	145, 228	fzfigd 10694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) e. Fin )
230	161, 165, 220, 227, 229	fisumss 11955	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
231	144, 150, 230	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
232		0zd 9491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
233		elfzelz 10260	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
234	233	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
235	232, 234	fzfigd 10694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
236		elfznn0 10349	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. NN0 )
237	236, 52	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
238		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ph )
239		elfznn0 10349	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
240	8	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
241	238, 239, 240	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
242		fznn0sub 10292	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
243	21	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
244	238, 242, 243	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
245	241, 244	mulcld 8200	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. CC )
246	235, 237, 245	fsummulc1 12012	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
247		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> z e. CC )
248	247, 239, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
249		expcl 10820	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
250	247, 242, 249	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
251	241, 248, 244, 250	mul4d 8334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
252	247	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> z e. CC )
253	242	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( n - k ) e. NN0 )
254	239	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
255	252, 253, 254	expaddd 10938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
256	254	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. CC )
257	236	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
258	257	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. CC )
259	256, 258	pncan3d 8493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( k + ( n - k ) ) = n )
260	259	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
261	255, 260	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
262	261	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
263	251, 262	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
264	263	sumeq2dv 11930	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
265	246, 264	eqtr4d 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
266	265	sumeq2dv 11930	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
267	60, 231, 266	3eqtr4rd 2275	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
268		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( B ` n ) = ( B ` k ) )
269		oveq2 6026	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( z ^ n ) = ( z ^ k ) )
270	268, 269	oveq12d 6036	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
271	270	cbvsumv 11923	. . . . 5 |- sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) )
272	271	oveq2i 6029	. . . 4 |- ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
273	267, 272	eqtrdi 2280	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
274	273	mpteq2dva 4179	. 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
275	32, 274	eqtr4d 2267	1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   \ cdif 3197   u. cun 3198   C_ wss 3200   {csn 3669   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   "cima 4728   Fun wfun 5320   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   oFcof 6233   Fincfn 6909   CCcc 8030   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   - cmin 8350   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243   ^cexp 10801   sum_csu 11915  Polycply 15455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916

This theorem is referenced by:  plymullem  15477