Theorem plymullem1 14894

Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyaddlem.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b	|- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
plymullem1	|- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   k, n, B   k, M, n   k, N, n   z, k, ph, n

Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k, n)   F( z, k, n)   G( z, k, n)   M( z)   N( z)

Proof of Theorem plymullem1

Dummy variables m j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7996	. . . 4 |- CC e. _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3		0zd 9329	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4		plyaddlem.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
5	4	nn0zd 9437	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6	3, 5	fzfigd 10502	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8		plyaddlem.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> CC )
10		elfznn0 10180	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
11	10	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
12	9, 11	ffvelcdmd 5694	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
13		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> z e. CC )
14	13, 11	expcld 10744	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
15	12, 14	mulcld 8040	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
16	7, 15	fsumcl 11543	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
17		plyaddlem.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
18	17	nn0zd 9437	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
19	3, 18	fzfigd 10502	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
21		plyaddlem.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
22	21	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B : NN0 --> CC )
23		elfznn0 10180	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
24	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
25	22, 24	ffvelcdmd 5694	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
26		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> z e. CC )
27	26, 24	expcld 10744	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
28	25, 27	mulcld 8040	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
29	20, 28	fsumcl 11543	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
30		plyaddlem.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
31		plyaddlem.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
32	2, 16, 29, 30, 31	offval2 6146	. 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
33		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( B ` m ) = ( B ` n ) )
34		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( z ^ m ) = ( z ^ n ) )
35	33, 34	oveq12d 5936	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) )
36	35	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
37		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( B ` m ) = ( B ` ( n - k ) ) )
38		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( z ^ m ) = ( z ^ ( n - k ) ) )
39	37, 38	oveq12d 5936	. . . . . . 7 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
40	39	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
41		elfznn0 10180	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> k e. NN0 )
42	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
43	42	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
44		expcl 10628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
45	44	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
46	43, 45	mulcld 8040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
47	41, 46	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
48		elfznn0 10180	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> n e. NN0 )
49	21	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
50	49	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( B ` n ) e. CC )
51		expcl 10628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
52	51	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
53	50, 52	mulcld 8040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
54	48, 53	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
55	47, 54	anim12dan 600	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) )
56		mulcl 7999	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
57	55, 56	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
58	5, 18	zaddcld 9443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
59	58	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
60	36, 40, 57, 59	fisum0diag2 11590	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
61	4	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. CC )
62	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> M e. CC )
63	17	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
64	63	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. CC )
65	11	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. CC )
66	62, 64, 65	addsubd 8351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) = ( ( M - k ) + N ) )
67		fznn0sub 10123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> ( M - k ) e. NN0 )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. NN0 )
69		nn0uz 9627	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
70	68, 69	eleqtrdi 2286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
71	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. ZZ )
72		eluzadd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
74	66, 73	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
75	64	addlidd 8169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 + N ) = N )
76	75	fveq2d 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
77	74, 76	eleqtrd 2272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) )
78		fzss2 10130	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
80	10, 46	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
81	80	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
82		elfznn0 10180	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. NN0 )
83	82, 53	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
84	83	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
85	81, 84	mulcld 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
86		eldifn 3282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
88		eldifi 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
89	88, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. NN0 )
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. NN0 )
91		peano2nn0 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
92	17, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
93	92, 69	eleqtrdi 2286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
94		uzsplit 10158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
96	69, 95	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
97		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. CC
98		pncan 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
99	63, 97, 98	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
100	99	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
101	100	uneq1d 3312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
102	96, 101	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
103	102	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
104	90, 103	eleqtrd 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
105		elun 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
106	104, 105	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
107	106	ord 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. n e. ( 0 ... N ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
108	87, 107	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
109	21	ffund 5407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Fun B )
110		ssun2 3323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
111	110, 96	sseqtrrid 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
112	21	fdmd 5410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom B = NN0 )
113	111, 112	sseqtrrd 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
114		funfvima2 5791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
115	109, 113, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
116	115	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
117	108, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
118		plyaddlem.b2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
119	118	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
120	117, 119	eleqtrd 2272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. { 0 } )
121		elsni 3636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B ` n ) e. { 0 } -> ( B ` n ) = 0 )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) = 0 )
123	122	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( 0 x. ( z ^ n ) ) )
124	13, 89, 51	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
125	124	mul02d 8411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ n ) ) = 0 )
126	123, 125	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = 0 )
127	126	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) )
128	80	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
129	128	mul01d 8412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) = 0 )
130	127, 129	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
131		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> j e. ZZ )
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> j e. ZZ )
133		0zd 9329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> 0 e. ZZ )
134	71	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> N e. ZZ )
135		fzdcel 10106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
136	132, 133, 134, 135	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
137	136	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A. j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) )DECID j e. ( 0 ... N ) )
138		0zd 9329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. ZZ )
139	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
140	11	nn0zd 9437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. ZZ )
141	139, 140	zsubcld 9444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
142	138, 141	fzfigd 10502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
143	79, 85, 130, 137, 142	fisumss 11535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
144	143	sumeq2dv 11511	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
145		0zd 9329	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
146	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> M e. ZZ )
147	145, 146	fzfigd 10502	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
148	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
149	145, 148	fzfigd 10502	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
150	147, 149, 80, 83	fsum2mul 11596	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
151	61, 63	addcomd 8170	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + N ) = ( N + M ) )
152	17, 69	eleqtrdi 2286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
153		eluzadd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
154	152, 5, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
155	61	addlidd 8169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
156	155	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
157	154, 156	eleqtrd 2272	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
158	151, 157	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
159		fzss2 10130	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
160	158, 159	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
161	160	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
162	80	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
163	54	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
164	162, 163	mulcld 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
165	142, 164	fsumcl 11543	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
166		eldifn 3282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
168		eldifi 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
169	168, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
170	169	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
171		peano2nn0 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
172	4, 171	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
173	172, 69	eleqtrdi 2286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
174		uzsplit 10158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
176	69, 175	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
177		pncan 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
178	61, 97, 177	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
179	178	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
180	179	uneq1d 3312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
181	176, 180	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
182	181	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
183	170, 182	eleqtrd 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
184		elun 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
185	183, 184	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
186	185	ord 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
187	167, 186	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
188	8	ffund 5407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun A )
189		ssun2 3323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
190	189, 176	sseqtrrid 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
191	8	fdmd 5410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom A = NN0 )
192	190, 191	sseqtrrd 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
193		funfvima2 5791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
194	188, 192, 193	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
195	194	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
196	187, 195	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
197		plyaddlem.a2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
198	197	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
199	196, 198	eleqtrd 2272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
200		elsni 3636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
201	199, 200	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
202	201	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
203	169, 45	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
204	203	mul02d 8411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
205	202, 204	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
206	205	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
207	206	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
208	54	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
209	208	mul02d 8411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
210	207, 209	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
211	210	sumeq2dv 11511	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 )
212		0zd 9329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> 0 e. ZZ )
213	59	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
214	170	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ZZ )
215	213, 214	zsubcld 9444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
216	212, 215	fzfigd 10502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
217	216	olcd 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) )
218		isumz 11532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
219	217, 218	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
220	211, 219	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
221		elfzelz 10091	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
222	221	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> j e. ZZ )
223		0zd 9329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
224	146	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> M e. ZZ )
225		fzdcel 10106	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
226	222, 223, 224, 225	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
227	226	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... ( M + N ) )DECID j e. ( 0 ... M ) )
228	146, 148	zaddcld 9443	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
229	145, 228	fzfigd 10502	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) e. Fin )
230	161, 165, 220, 227, 229	fisumss 11535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
231	144, 150, 230	3eqtr3d 2234	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
232		0zd 9329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
233		elfzelz 10091	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
234	233	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
235	232, 234	fzfigd 10502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
236		elfznn0 10180	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. NN0 )
237	236, 52	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
238		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ph )
239		elfznn0 10180	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
240	8	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
241	238, 239, 240	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
242		fznn0sub 10123	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
243	21	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
244	238, 242, 243	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
245	241, 244	mulcld 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. CC )
246	235, 237, 245	fsummulc1 11592	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
247		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> z e. CC )
248	247, 239, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
249		expcl 10628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
250	247, 242, 249	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
251	241, 248, 244, 250	mul4d 8174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
252	247	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> z e. CC )
253	242	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( n - k ) e. NN0 )
254	239	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
255	252, 253, 254	expaddd 10746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
256	254	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. CC )
257	236	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
258	257	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. CC )
259	256, 258	pncan3d 8333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( k + ( n - k ) ) = n )
260	259	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
261	255, 260	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
262	261	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
263	251, 262	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
264	263	sumeq2dv 11511	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
265	246, 264	eqtr4d 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
266	265	sumeq2dv 11511	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
267	60, 231, 266	3eqtr4rd 2237	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
268		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( B ` n ) = ( B ` k ) )
269		oveq2 5926	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( z ^ n ) = ( z ^ k ) )
270	268, 269	oveq12d 5936	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
271	270	cbvsumv 11504	. . . . 5 |- sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) )
272	271	oveq2i 5929	. . . 4 |- ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
273	267, 272	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
274	273	mpteq2dva 4119	. 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
275	32, 274	eqtr4d 2229	1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   \ cdif 3150   u. cun 3151   C_ wss 3153   {csn 3618   |-> cmpt 4090   dom cdm 4659   "cima 4662   Fun wfun 5248   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   oFcof 6128   Fincfn 6794   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   ^cexp 10609   sum_csu 11496  Polycply 14874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  plymullem  14896