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Theorem plymullem1 15832
Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m |- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n |- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plymullem1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, n   k, n, B   k, M, n   k, N, n   z, k, ph, n
Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k, n)   F( z, k, n)   G( z, k, n)   M( z)   N( z)
Proof of Theorem plymullem1
Dummy variables m j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8297 . . . 4 |- CC e. _V
21a1i 9 . . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3 0zd 9639 . . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4 plyaddlem.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
54nn0zd 9749 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
63, 5fzfigd 10851 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8 plyaddlem.a . . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
98ad2antrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> CC )
10 elfznn0 10504 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
1110adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
129, 11ffvelcdmd 5838 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
13 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> z e. CC )
1413, 11expcld 11094 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
1512, 14mulcld 8340 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
167, 15fsumcl 12150 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
17 plyaddlem.n . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
1817nn0zd 9749 . . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
193, 18fzfigd 10851 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
2019adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
21 plyaddlem.b . . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
2221ad2antrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B : NN0 --> CC )
23 elfznn0 10504 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
2522, 24ffvelcdmd 5838 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
26 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> z e. CC )
2726, 24expcld 11094 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2825, 27mulcld 8340 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
2920, 28fsumcl 12150 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
30 plyaddlem.f . . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
31 plyaddlem.g . . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
322, 16, 29, 30, 31offval2 6312 . 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
33 fveq2 5693 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( B ` m ) = ( B ` n ) )
34 oveq2 6087 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( z ^ m ) = ( z ^ n ) )
3533, 34oveq12d 6097 . . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) )
3635oveq2d 6095 . . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
37 fveq2 5693 . . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( B ` m ) = ( B ` ( n - k ) ) )
38 oveq2 6087 . . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( z ^ m ) = ( z ^ ( n - k ) ) )
3937, 38oveq12d 6097 . . . . . . 7 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
4039oveq2d 6095 . . . . . 6 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
41 elfznn0 10504 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> k e. NN0 )
428adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
4342ffvelcdmda 5837 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
44 expcl 10977 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4544adantll 480 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4643, 45mulcld 8340 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
4741, 46sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
48 elfznn0 10504 . . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> n e. NN0 )
4921adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
5049ffvelcdmda 5837 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( B ` n ) e. CC )
51 expcl 10977 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
5251adantll 480 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
5350, 52mulcld 8340 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
5448, 53sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
5547, 54anim12dan 608 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) )
56 mulcl 8300 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
5755, 56syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
585, 18zaddcld 9755 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
5958adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
6036, 40, 57, 59fisum0diag2 12197 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
614nn0cnd 9605 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. CC )
6261ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> M e. CC )
6317nn0cnd 9605 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
6463ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. CC )
6511nn0cnd 9605 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. CC )
6662, 64, 65addsubd 8652 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) = ( ( M - k ) + N ) )
67 fznn0sub 10446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> ( M - k ) e. NN0 )
6867adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. NN0 )
69 nn0uz 9940 . . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
7068, 69eleqtrdi 2331 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
7118ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. ZZ )
72 eluzadd 9934 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
7370, 71, 72syl2anc 415 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
7466, 73eqeltrd 2315 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
7564addlidd 8470 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 + N ) = N )
7675fveq2d 5697 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
7774, 76eleqtrd 2317 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) )
78 fzss2 10453 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
7977, 78syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
8010, 46sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
8180adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
82 elfznn0 10504 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. NN0 )
8382, 53sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
8483adantlr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
8581, 84mulcld 8340 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
86 eldifn 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
8786adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
88 eldifi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
8988, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. NN0 )
9089adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. NN0 )
91 peano2nn0 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
9217, 91syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
9392, 69eleqtrdi 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
94 uzsplit 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
9593, 94syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
9669, 95eqtrid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
97 ax-1cn 8266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. CC
98 pncan 8526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
9963, 97, 98sylancl 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10099oveq2d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
101100uneq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
10296, 101eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
103102ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
10490, 103eleqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
105 elun 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
106104, 105sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
107106ord 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. n e. ( 0 ... N ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
10887, 107mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
10921ffund 5535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Fun B )
110 ssun2 3393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
111110, 96sseqtrrid 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
11221fdmd 5538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom B = NN0 )
113111, 112sseqtrrd 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
114 funfvima2 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
115109, 113, 114syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
116115ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
117108, 116mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
118 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
119118ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
120117, 119eleqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. { 0 } )
121 elsni 3726 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B ` n ) e. { 0 } -> ( B ` n ) = 0 )
122120, 121syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) = 0 )
123122oveq1d 6094 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( 0 x. ( z ^ n ) ) )
12413, 89, 51syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
125124mul02d 8713 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ n ) ) = 0 )
126123, 125eqtrd 2271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = 0 )
127126oveq2d 6095 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) )
12880adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
129128mul01d 8714 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) = 0 )
130127, 129eqtrd 2271 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
131 elfzelz 10411 . . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> j e. ZZ )
132131adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> j e. ZZ )
133 0zd 9639 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> 0 e. ZZ )
13471adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> N e. ZZ )
135 fzdcel 10427 . . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
136132, 133, 134, 135syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
137136ralrimiva 2623 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A. j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) )DECID j e. ( 0 ... N ) )
138 0zd 9639 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. ZZ )
13959adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
14011nn0zd 9749 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. ZZ )
141139, 140zsubcld 9756 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
142138, 141fzfigd 10851 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
14379, 85, 130, 137, 142fisumss 12142 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
144143sumeq2dv 12117 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
145 0zd 9639 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
1465adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> M e. ZZ )
147145, 146fzfigd 10851 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
14818adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
149145, 148fzfigd 10851 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
150147, 149, 80, 83fsum2mul 12203 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
15161, 63addcomd 8471 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + N ) = ( N + M ) )
15217, 69eleqtrdi 2331 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
153 eluzadd 9934 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
154152, 5, 153syl2anc 415 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
15561addlidd 8470 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
156155fveq2d 5697 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
157154, 156eleqtrd 2317 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
158151, 157eqeltrd 2315 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
159 fzss2 10453 . . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
160158, 159syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
161160adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
16280adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
16354adantlr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
164162, 163mulcld 8340 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
165142, 164fsumcl 12150 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
166 eldifn 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
167166adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
168 eldifi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
169168, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
170169adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
171 peano2nn0 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
1724, 171syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
173172, 69eleqtrdi 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
174 uzsplit 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
175173, 174syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
17669, 175eqtrid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
177 pncan 8526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
17861, 97, 177sylancl 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
179178oveq2d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
180179uneq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
181176, 180eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
182181ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
183170, 182eleqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
184 elun 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
185183, 184sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
186185ord 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
187167, 186mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
1888ffund 5535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun A )
189 ssun2 3393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
190189, 176sseqtrrid 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
1918fdmd 5538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom A = NN0 )
192190, 191sseqtrrd 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
193 funfvima2 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
194188, 192, 193syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
195194ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
196187, 195mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
197 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
198197ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
199196, 198eleqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
200 elsni 3726 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
201199, 200syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
202201oveq1d 6094 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
203169, 45sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
204203mul02d 8713 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
205202, 204eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
206205adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
207206oveq1d 6094 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
20854adantlr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
209208mul02d 8713 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
210207, 209eqtrd 2271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
211210sumeq2dv 12117 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 )
212 0zd 9639 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> 0 e. ZZ )
21359adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
214170nn0zd 9749 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ZZ )
215213, 214zsubcld 9756 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
216212, 215fzfigd 10851 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
217216olcd 746 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) )
218 isumz 12139 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
219217, 218syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
220211, 219eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
221 elfzelz 10411 . . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
222221adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> j e. ZZ )
223 0zd 9639 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
224146adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> M e. ZZ )
225 fzdcel 10427 . . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
226222, 223, 224, 225syl3anc 1278 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
227226ralrimiva 2623 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... ( M + N ) )DECID j e. ( 0 ... M ) )
228146, 148zaddcld 9755 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
229145, 228fzfigd 10851 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) e. Fin )
230161, 165, 220, 227, 229fisumss 12142 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
231144, 150, 2303eqtr3d 2279 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
232 0zd 9639 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
233 elfzelz 10411 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
234233adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
235232, 234fzfigd 10851 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
236 elfznn0 10504 . . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. NN0 )
237236, 52sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
238 simpll 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ph )
239 elfznn0 10504 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
2408ffvelcdmda 5837 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
241238, 239, 240syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
242 fznn0sub 10446 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
24321ffvelcdmda 5837 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
244238, 242, 243syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
245241, 244mulcld 8340 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. CC )
246235, 237, 245fsummulc1 12199 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
247 simplr 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> z e. CC )
248247, 239, 44syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
249 expcl 10977 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
250247, 242, 249syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
251241, 248, 244, 250mul4d 8475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
252247adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> z e. CC )
253242adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( n - k ) e. NN0 )
254239adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
255252, 253, 254expaddd 11096 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
256254nn0cnd 9605 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. CC )
257236ad2antlr 493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
258257nn0cnd 9605 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. CC )
259256, 258pncan3d 8634 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( k + ( n - k ) ) = n )
260259oveq2d 6095 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
261255, 260eqtr3d 2273 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
262261oveq2d 6095 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
263251, 262eqtrd 2271 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
264263sumeq2dv 12117 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
265246, 264eqtr4d 2274 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
266265sumeq2dv 12117 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
26760, 231, 2663eqtr4rd 2282 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
268 fveq2 5693 . . . . . . 7 |- ( n = k -> ( B ` n ) = ( B ` k ) )
269 oveq2 6087 . . . . . . 7 |- ( n = k -> ( z ^ n ) = ( z ^ k ) )
270268, 269oveq12d 6097 . . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
271270cbvsumv 12110 . . . . 5 |- sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) )
272271oveq2i 6090 . . . 4 |- ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
273267, 272eqtrdi 2287 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
274273mpteq2dva 4219 . 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
27532, 274eqtr4d 2274 1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3708   |-> cmpt 4190   dom cdm 4772   "cima 4775   Fun wfun 5369   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   oFcof 6294   Fincfn 7016   CCcc 8171   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   x. cmul 8178   - cmin 8491   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904   ...cfz 10394   ^cexp 10958   sum_csu 12102  Polycply 15812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103
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