Theorem plymullem1 15387

Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyaddlem.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b	|- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
plymullem1	|- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   k, n, B   k, M, n   k, N, n   z, k, ph, n

Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k, n)   F( z, k, n)   G( z, k, n)   M( z)   N( z)

Proof of Theorem plymullem1

Dummy variables m j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8091	. . . 4 |- CC e. _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3		0zd 9426	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4		plyaddlem.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
5	4	nn0zd 9535	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6	3, 5	fzfigd 10620	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8		plyaddlem.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> CC )
10		elfznn0 10278	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
11	10	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
12	9, 11	ffvelcdmd 5744	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
13		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> z e. CC )
14	13, 11	expcld 10862	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
15	12, 14	mulcld 8135	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
16	7, 15	fsumcl 11877	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
17		plyaddlem.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
18	17	nn0zd 9535	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
19	3, 18	fzfigd 10620	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
21		plyaddlem.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
22	21	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B : NN0 --> CC )
23		elfznn0 10278	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
24	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
25	22, 24	ffvelcdmd 5744	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
26		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> z e. CC )
27	26, 24	expcld 10862	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
28	25, 27	mulcld 8135	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
29	20, 28	fsumcl 11877	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
30		plyaddlem.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
31		plyaddlem.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
32	2, 16, 29, 30, 31	offval2 6204	. 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
33		fveq2 5603	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( B ` m ) = ( B ` n ) )
34		oveq2 5982	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( z ^ m ) = ( z ^ n ) )
35	33, 34	oveq12d 5992	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) )
36	35	oveq2d 5990	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
37		fveq2 5603	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( B ` m ) = ( B ` ( n - k ) ) )
38		oveq2 5982	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( z ^ m ) = ( z ^ ( n - k ) ) )
39	37, 38	oveq12d 5992	. . . . . . 7 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
40	39	oveq2d 5990	. . . . . 6 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
41		elfznn0 10278	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> k e. NN0 )
42	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
43	42	ffvelcdmda 5743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
44		expcl 10746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
45	44	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
46	43, 45	mulcld 8135	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
47	41, 46	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
48		elfznn0 10278	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> n e. NN0 )
49	21	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
50	49	ffvelcdmda 5743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( B ` n ) e. CC )
51		expcl 10746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
52	51	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
53	50, 52	mulcld 8135	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
54	48, 53	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
55	47, 54	anim12dan 602	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) )
56		mulcl 8094	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
57	55, 56	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
58	5, 18	zaddcld 9541	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
59	58	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
60	36, 40, 57, 59	fisum0diag2 11924	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
61	4	nn0cnd 9392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. CC )
62	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> M e. CC )
63	17	nn0cnd 9392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
64	63	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. CC )
65	11	nn0cnd 9392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. CC )
66	62, 64, 65	addsubd 8446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) = ( ( M - k ) + N ) )
67		fznn0sub 10221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> ( M - k ) e. NN0 )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. NN0 )
69		nn0uz 9725	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
70	68, 69	eleqtrdi 2302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
71	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. ZZ )
72		eluzadd 9719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
74	66, 73	eqeltrd 2286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
75	64	addlidd 8264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 + N ) = N )
76	75	fveq2d 5607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
77	74, 76	eleqtrd 2288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) )
78		fzss2 10228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
80	10, 46	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
81	80	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
82		elfznn0 10278	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. NN0 )
83	82, 53	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
84	83	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
85	81, 84	mulcld 8135	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
86		eldifn 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
88		eldifi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
89	88, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. NN0 )
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. NN0 )
91		peano2nn0 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
92	17, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
93	92, 69	eleqtrdi 2302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
94		uzsplit 10256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
96	69, 95	eqtrid 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
97		ax-1cn 8060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. CC
98		pncan 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
99	63, 97, 98	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
100	99	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
101	100	uneq1d 3337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
102	96, 101	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
103	102	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
104	90, 103	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
105		elun 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
106	104, 105	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
107	106	ord 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. n e. ( 0 ... N ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
108	87, 107	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
109	21	ffund 5453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Fun B )
110		ssun2 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
111	110, 96	sseqtrrid 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
112	21	fdmd 5456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom B = NN0 )
113	111, 112	sseqtrrd 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
114		funfvima2 5845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
115	109, 113, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
116	115	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
117	108, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
118		plyaddlem.b2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
119	118	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
120	117, 119	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. { 0 } )
121		elsni 3664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B ` n ) e. { 0 } -> ( B ` n ) = 0 )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) = 0 )
123	122	oveq1d 5989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( 0 x. ( z ^ n ) ) )
124	13, 89, 51	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
125	124	mul02d 8506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ n ) ) = 0 )
126	123, 125	eqtrd 2242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = 0 )
127	126	oveq2d 5990	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) )
128	80	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
129	128	mul01d 8507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) = 0 )
130	127, 129	eqtrd 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
131		elfzelz 10189	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> j e. ZZ )
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> j e. ZZ )
133		0zd 9426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> 0 e. ZZ )
134	71	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> N e. ZZ )
135		fzdcel 10204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
136	132, 133, 134, 135	syl3anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
137	136	ralrimiva 2583	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A. j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) )DECID j e. ( 0 ... N ) )
138		0zd 9426	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. ZZ )
139	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
140	11	nn0zd 9535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. ZZ )
141	139, 140	zsubcld 9542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
142	138, 141	fzfigd 10620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
143	79, 85, 130, 137, 142	fisumss 11869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
144	143	sumeq2dv 11845	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
145		0zd 9426	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
146	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> M e. ZZ )
147	145, 146	fzfigd 10620	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
148	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
149	145, 148	fzfigd 10620	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
150	147, 149, 80, 83	fsum2mul 11930	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
151	61, 63	addcomd 8265	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + N ) = ( N + M ) )
152	17, 69	eleqtrdi 2302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
153		eluzadd 9719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
154	152, 5, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
155	61	addlidd 8264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
156	155	fveq2d 5607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
157	154, 156	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
158	151, 157	eqeltrd 2286	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
159		fzss2 10228	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
160	158, 159	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
161	160	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
162	80	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
163	54	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
164	162, 163	mulcld 8135	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
165	142, 164	fsumcl 11877	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
166		eldifn 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
168		eldifi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
169	168, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
170	169	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
171		peano2nn0 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
172	4, 171	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
173	172, 69	eleqtrdi 2302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
174		uzsplit 10256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
176	69, 175	eqtrid 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
177		pncan 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
178	61, 97, 177	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
179	178	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
180	179	uneq1d 3337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
181	176, 180	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
182	181	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
183	170, 182	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
184		elun 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
185	183, 184	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
186	185	ord 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
187	167, 186	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
188	8	ffund 5453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun A )
189		ssun2 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
190	189, 176	sseqtrrid 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
191	8	fdmd 5456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom A = NN0 )
192	190, 191	sseqtrrd 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
193		funfvima2 5845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
194	188, 192, 193	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
195	194	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
196	187, 195	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
197		plyaddlem.a2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
198	197	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
199	196, 198	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
200		elsni 3664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
201	199, 200	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
202	201	oveq1d 5989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
203	169, 45	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
204	203	mul02d 8506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
205	202, 204	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
206	205	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
207	206	oveq1d 5989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
208	54	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
209	208	mul02d 8506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
210	207, 209	eqtrd 2242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
211	210	sumeq2dv 11845	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 )
212		0zd 9426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> 0 e. ZZ )
213	59	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
214	170	nn0zd 9535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ZZ )
215	213, 214	zsubcld 9542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
216	212, 215	fzfigd 10620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
217	216	olcd 738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) )
218		isumz 11866	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
219	217, 218	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
220	211, 219	eqtrd 2242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
221		elfzelz 10189	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
222	221	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> j e. ZZ )
223		0zd 9426	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
224	146	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> M e. ZZ )
225		fzdcel 10204	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
226	222, 223, 224, 225	syl3anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
227	226	ralrimiva 2583	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... ( M + N ) )DECID j e. ( 0 ... M ) )
228	146, 148	zaddcld 9541	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
229	145, 228	fzfigd 10620	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) e. Fin )
230	161, 165, 220, 227, 229	fisumss 11869	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
231	144, 150, 230	3eqtr3d 2250	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
232		0zd 9426	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
233		elfzelz 10189	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
234	233	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
235	232, 234	fzfigd 10620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
236		elfznn0 10278	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. NN0 )
237	236, 52	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
238		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ph )
239		elfznn0 10278	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
240	8	ffvelcdmda 5743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
241	238, 239, 240	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
242		fznn0sub 10221	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
243	21	ffvelcdmda 5743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
244	238, 242, 243	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
245	241, 244	mulcld 8135	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. CC )
246	235, 237, 245	fsummulc1 11926	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
247		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> z e. CC )
248	247, 239, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
249		expcl 10746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
250	247, 242, 249	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
251	241, 248, 244, 250	mul4d 8269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
252	247	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> z e. CC )
253	242	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( n - k ) e. NN0 )
254	239	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
255	252, 253, 254	expaddd 10864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
256	254	nn0cnd 9392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. CC )
257	236	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
258	257	nn0cnd 9392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. CC )
259	256, 258	pncan3d 8428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( k + ( n - k ) ) = n )
260	259	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
261	255, 260	eqtr3d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
262	261	oveq2d 5990	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
263	251, 262	eqtrd 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
264	263	sumeq2dv 11845	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
265	246, 264	eqtr4d 2245	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
266	265	sumeq2dv 11845	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
267	60, 231, 266	3eqtr4rd 2253	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
268		fveq2 5603	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( B ` n ) = ( B ` k ) )
269		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( z ^ n ) = ( z ^ k ) )
270	268, 269	oveq12d 5992	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
271	270	cbvsumv 11838	. . . . 5 |- sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) )
272	271	oveq2i 5985	. . . 4 |- ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
273	267, 272	eqtrdi 2258	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
274	273	mpteq2dva 4153	. 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
275	32, 274	eqtr4d 2245	1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 712  DECID wdc 838   /\ w3a 983   = wceq 1375   e. wcel 2180   A.wral 2488   _Vcvv 2779   \ cdif 3174   u. cun 3175   C_ wss 3177   {csn 3646   |-> cmpt 4124   dom cdm 4696   "cima 4699   Fun wfun 5288   -->wf 5290   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   oFcof 6186   Fincfn 6857   CCcc 7965   0cc0 7967   1c1 7968   + caddc 7970   x. cmul 7972   - cmin 8285   NN0cn0 9337   ZZcz 9414   ZZ>=cuz 9690   ...cfz 10172   ^cexp 10727   sum_csu 11830  Polycply 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-disj 4039  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831

This theorem is referenced by:  plymullem  15389