ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  plymullem1 Unicode version
Theorem plymullem1 15501
Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m |- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n |- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plymullem1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, n   k, n, B   k, M, n   k, N, n   z, k, ph, n
Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k, n)   F( z, k, n)   G( z, k, n)   M( z)   N( z)
Proof of Theorem plymullem1
Dummy variables m j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8161 . . . 4 |- CC e. _V
21a1i 9 . . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3 0zd 9496 . . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4 plyaddlem.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
54nn0zd 9605 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
63, 5fzfigd 10699 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8 plyaddlem.a . . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
98ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> CC )
10 elfznn0 10354 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
1110adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
129, 11ffvelcdmd 5786 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
13 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> z e. CC )
1413, 11expcld 10941 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
1512, 14mulcld 8205 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
167, 15fsumcl 11984 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
17 plyaddlem.n . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
1817nn0zd 9605 . . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
193, 18fzfigd 10699 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
2019adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
21 plyaddlem.b . . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
2221ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B : NN0 --> CC )
23 elfznn0 10354 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
2522, 24ffvelcdmd 5786 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
26 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> z e. CC )
2726, 24expcld 10941 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2825, 27mulcld 8205 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
2920, 28fsumcl 11984 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
30 plyaddlem.f . . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
31 plyaddlem.g . . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
322, 16, 29, 30, 31offval2 6256 . 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
33 fveq2 5642 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( B ` m ) = ( B ` n ) )
34 oveq2 6031 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( z ^ m ) = ( z ^ n ) )
3533, 34oveq12d 6041 . . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) )
3635oveq2d 6039 . . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
37 fveq2 5642 . . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( B ` m ) = ( B ` ( n - k ) ) )
38 oveq2 6031 . . . . . . . 8 |- ( m = ( n - k ) -> ( z ^ m ) = ( z ^ ( n - k ) ) )
3937, 38oveq12d 6041 . . . . . . 7 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) = ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
4039oveq2d 6039 . . . . . 6 |- ( m = ( n - k ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
41 elfznn0 10354 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> k e. NN0 )
428adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
4342ffvelcdmda 5785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
44 expcl 10825 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4544adantll 476 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4643, 45mulcld 8205 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
4741, 46sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
48 elfznn0 10354 . . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> n e. NN0 )
4921adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
5049ffvelcdmda 5785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( B ` n ) e. CC )
51 expcl 10825 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
5251adantll 476 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( z ^ n ) e. CC )
5350, 52mulcld 8205 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
5448, 53sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
5547, 54anim12dan 604 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) )
56 mulcl 8164 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC /\ ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
5755, 56syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
585, 18zaddcld 9611 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + N ) e. ZZ )
5958adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
6036, 40, 57, 59fisum0diag2 12031 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
614nn0cnd 9462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. CC )
6261ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> M e. CC )
6317nn0cnd 9462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
6463ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. CC )
6511nn0cnd 9462 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. CC )
6662, 64, 65addsubd 8516 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) = ( ( M - k ) + N ) )
67 fznn0sub 10297 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> ( M - k ) e. NN0 )
6867adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. NN0 )
69 nn0uz 9796 . . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
7068, 69eleqtrdi 2323 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
7118ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> N e. ZZ )
72 eluzadd 9790 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M - k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M - k ) + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
7466, 73eqeltrd 2307 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
7564addlidd 8334 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 + N ) = N )
7675fveq2d 5646 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
7774, 76eleqtrd 2309 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) )
78 fzss2 10304 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + N ) - k ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
7977, 78syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
8010, 46sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
8180adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
82 elfznn0 10354 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 0 ... N ) -> n e. NN0 )
8382, 53sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
8483adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
8581, 84mulcld 8205 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
86 eldifn 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
8786adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. n e. ( 0 ... N ) )
88 eldifi 3328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) )
8988, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> n e. NN0 )
9089adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. NN0 )
91 peano2nn0 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
9217, 91syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
9392, 69eleqtrdi 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
94 uzsplit 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
9593, 94syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
9669, 95eqtrid 2275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
97 ax-1cn 8130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. CC
98 pncan 8390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
9963, 97, 98sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10099oveq2d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
101100uneq1d 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
10296, 101eqtrd 2263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
103102ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
10490, 103eleqtrd 2309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
105 elun 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
106104, 105sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( 0 ... N ) \/ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
107106ord 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. n e. ( 0 ... N ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
10887, 107mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
10921ffund 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Fun B )
110 ssun2 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
111110, 96sseqtrrid 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
11221fdmd 5491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom B = NN0 )
113111, 112sseqtrrd 3265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
114 funfvima2 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
115109, 113, 114syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
116115ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
117108, 116mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
118 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
119118ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
120117, 119eleqtrd 2309 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) e. { 0 } )
121 elsni 3688 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B ` n ) e. { 0 } -> ( B ` n ) = 0 )
122120, 121syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` n ) = 0 )
123122oveq1d 6038 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( 0 x. ( z ^ n ) ) )
12413, 89, 51syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
125124mul02d 8576 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ n ) ) = 0 )
126123, 125eqtrd 2263 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = 0 )
127126oveq2d 6039 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) )
12880adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
129128mul01d 8577 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. 0 ) = 0 )
130127, 129eqtrd 2263 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
131 elfzelz 10265 . . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) -> j e. ZZ )
132131adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> j e. ZZ )
133 0zd 9496 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> 0 e. ZZ )
13471adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> N e. ZZ )
135 fzdcel 10280 . . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
136132, 133, 134, 135syl3anc 1273 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
137136ralrimiva 2604 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A. j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) )DECID j e. ( 0 ... N ) )
138 0zd 9496 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. ZZ )
13959adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
14011nn0zd 9605 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. ZZ )
141139, 140zsubcld 9612 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
142138, 141fzfigd 10699 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
14379, 85, 130, 137, 142fisumss 11976 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
144143sumeq2dv 11951 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
145 0zd 9496 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
1465adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> M e. ZZ )
147145, 146fzfigd 10699 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
14818adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
149145, 148fzfigd 10699 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
150147, 149, 80, 83fsum2mul 12037 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
15161, 63addcomd 8335 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + N ) = ( N + M ) )
15217, 69eleqtrdi 2323 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
153 eluzadd 9790 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
154152, 5, 153syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
15561addlidd 8334 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
156155fveq2d 5646 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
157154, 156eleqtrd 2309 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
158151, 157eqeltrd 2307 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
159 fzss2 10304 . . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
160158, 159syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
161160adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
16280adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
16354adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
164162, 163mulcld 8205 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
165142, 164fsumcl 11984 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) e. CC )
166 eldifn 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
167166adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
168 eldifi 3328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
169168, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
170169adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
171 peano2nn0 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
1724, 171syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
173172, 69eleqtrdi 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
174 uzsplit 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
175173, 174syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
17669, 175eqtrid 2275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
177 pncan 8390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
17861, 97, 177sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
179178oveq2d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
180179uneq1d 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
181176, 180eqtrd 2263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
182181ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
183170, 182eleqtrd 2309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
184 elun 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
185183, 184sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
186185ord 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
187167, 186mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
1888ffund 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun A )
189 ssun2 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
190189, 176sseqtrrid 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
1918fdmd 5491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom A = NN0 )
192190, 191sseqtrrd 3265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
193 funfvima2 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
194188, 192, 193syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
195194ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
196187, 195mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
197 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
198197ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
199196, 198eleqtrd 2309 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
200 elsni 3688 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
201199, 200syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
202201oveq1d 6038 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
203169, 45sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
204203mul02d 8576 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
205202, 204eqtrd 2263 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
206205adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
207206oveq1d 6038 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
20854adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) e. CC )
209208mul02d 8576 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( 0 x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
210207, 209eqtrd 2263 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) /\ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
211210sumeq2dv 11951 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 )
212 0zd 9496 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> 0 e. ZZ )
21359adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
214170nn0zd 9605 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ZZ )
215213, 214zsubcld 9612 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( M + N ) - k ) e. ZZ )
216212, 215fzfigd 10699 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin )
217216olcd 741 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) )
218 isumz 11973 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 0 )DECID j e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ) \/ ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) e. Fin ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
219217, 218syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) 0 = 0 )
220211, 219eqtrd 2263 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = 0 )
221 elfzelz 10265 . . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
222221adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> j e. ZZ )
223 0zd 9496 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
224146adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> M e. ZZ )
225 fzdcel 10280 . . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
226222, 223, 224, 225syl3anc 1273 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
227226ralrimiva 2604 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... ( M + N ) )DECID j e. ( 0 ... M ) )
228146, 148zaddcld 9611 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( M + N ) e. ZZ )
229145, 228fzfigd 10699 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) e. Fin )
230161, 165, 220, 227, 229fisumss 11976 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
231144, 150, 2303eqtr3d 2271 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ n e. ( 0 ... ( ( M + N ) - k ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
232 0zd 9496 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
233 elfzelz 10265 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. ZZ )
234233adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> n e. ZZ )
235232, 234fzfigd 10699 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
236 elfznn0 10354 . . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> n e. NN0 )
237236, 52sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( z ^ n ) e. CC )
238 simpll 527 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ph )
239 elfznn0 10354 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
2408ffvelcdmda 5785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
241238, 239, 240syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
242 fznn0sub 10297 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
24321ffvelcdmda 5785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
244238, 242, 243syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
245241, 244mulcld 8205 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. CC )
246235, 237, 245fsummulc1 12033 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
247 simplr 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> z e. CC )
248247, 239, 44syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
249 expcl 10825 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ ( n - k ) e. NN0 ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
250247, 242, 249syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( n - k ) ) e. CC )
251241, 248, 244, 250mul4d 8339 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
252247adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> z e. CC )
253242adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( n - k ) e. NN0 )
254239adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
255252, 253, 254expaddd 10943 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) )
256254nn0cnd 9462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. CC )
257236ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. NN0 )
258257nn0cnd 9462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> n e. CC )
259256, 258pncan3d 8498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( k + ( n - k ) ) = n )
260259oveq2d 6039 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( z ^ ( k + ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
261255, 260eqtr3d 2265 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) = ( z ^ n ) )
262261oveq2d 6039 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( ( z ^ k ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
263251, 262eqtrd 2263 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
264263sumeq2dv 11951 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) )
265246, 264eqtr4d 2266 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
266265sumeq2dv 11951 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. ( ( B ` ( n - k ) ) x. ( z ^ ( n - k ) ) ) ) )
26760, 231, 2663eqtr4rd 2274 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) )
268 fveq2 5642 . . . . . . 7 |- ( n = k -> ( B ` n ) = ( B ` k ) )
269 oveq2 6031 . . . . . . 7 |- ( n = k -> ( z ^ n ) = ( z ^ k ) )
270268, 269oveq12d 6041 . . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
271270cbvsumv 11944 . . . . 5 |- sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) )
272271oveq2i 6034 . . . 4 |- ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ n e. ( 0 ... N ) ( ( B ` n ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
273267, 272eqtrdi 2279 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
274273mpteq2dva 4180 . 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
27532, 274eqtr4d 2266 1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ n e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) x. ( z ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   A.wral 2509   _Vcvv 2801   \ cdif 3196   u. cun 3197   C_ wss 3199   {csn 3670   |-> cmpt 4151   dom cdm 4727   "cima 4730   Fun wfun 5322   -->wf 5324   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   oFcof 6238   Fincfn 6914   CCcc 8035   0cc0 8037   1c1 8038   + caddc 8040   x. cmul 8042   - cmin 8355   NN0cn0 9407   ZZcz 9484   ZZ>=cuz 9760   ...cfz 10248   ^cexp 10806   sum_csu 11936  Polycply 15481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-disj 4066  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-frec 6562  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-er 6707  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-ihash 11044  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862  df-sumdc 11937
This theorem is referenced by:  plymullem  15503
  Copyright terms: Public domain W3C validator