Theorem cvgratnnlemnexp 11706

Description: Lemma for cvgratnn 11713. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnnlemnexp.n	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemnexp	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k

Proof of Theorem cvgratnnlemnexp

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnnlemnexp.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		nnuz 9654	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	eleqtrdi 2289	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		2fveq3 5566	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
5		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( w - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
6	5	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( 1 - 1 ) ) )
7	6	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
8	4, 7	breq12d 4047	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
10		2fveq3 5566	. . . . 5 |- ( w = k -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
11		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - 1 ) = ( k - 1 ) )
12	11	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( k - 1 ) ) )
13	12	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) )
14	10, 13	breq12d 4047	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
16		2fveq3 5566	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
17		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
18	17	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
19	18	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
20	16, 19	breq12d 4047	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
22		2fveq3 5566	. . . . 5 |- ( w = N -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
23		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - 1 ) = ( N - 1 ) )
24	23	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( N - 1 ) ) )
25	24	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4047	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
28		fveq2 5561	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
29	28	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` 1 ) e. CC ) )
30		cvgratnn.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	30	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
32		1nn 9018	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
33	32	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
34	29, 31, 33	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
35	34	abscld 11363	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
36	35	leidd 8558	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
37		1m1e0 9076	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
38	37	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
39	38	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( 1 - 1 ) ) = ( A ^ 0 ) )
40		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
41	40	recnd 8072	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
42	41	exp0d 10776	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
43	39, 42	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( 1 - 1 ) ) = 1 )
44	43	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. 1 ) )
45	35	recnd 8072	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
46	45	mulridd 8060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
47	44, 46	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
48	36, 47	breqtrrd 4062	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
49	48	a1i 9	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
50		elnnuz 9655	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
51	30	abscld 11363	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
52	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
53	40	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
54		nnm1nn0 9307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
56	53, 55	reexpcld 10799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( k - 1 ) ) e. RR )
57	52, 56	remulcld 8074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
58		0red 8044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 e. RR )
59		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < A )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < A )
61	58, 53, 60	ltled 8162	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
62		lemul2a 8903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
63	62	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
64	51, 57, 53, 61, 63	syl112anc 1253	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
65	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
66	45	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
67	56	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
68	65, 66, 67	mul12d 8195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
69	65, 55	expp1d 10783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k - 1 ) ) x. A ) )
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
71	70	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
72		1cnd 8059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 1 e. CC )
73	71, 72, 72	addsubd 8375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = ( ( k - 1 ) + 1 ) )
74	73	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( A ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
75	65, 67	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( k - 1 ) ) x. A ) )
76	69, 74, 75	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
77	76	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
78	68, 77	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
79	78	breq2d 4046	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) <-> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
80	64, 79	sylibd 149	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
81		cvgratnn.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
82		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
83	82	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
84		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85	84	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
86	85	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
87	31, 86	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
89		peano2nn 9019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
91	83, 88, 90	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
92	91	abscld 11363	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
93	53, 51	remulcld 8074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
94		elnnuz 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. NN <-> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
95	89, 94	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97		uznn0sub 9650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
99	53, 98	reexpcld 10799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) e. RR )
100	52, 99	remulcld 8074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. RR )
101		letr 8126	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
102	92, 93, 100, 101	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
103	81, 102	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
104	80, 103	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
105	50, 104	sylan2br 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
106	105	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
107	106	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
108	9, 15, 21, 27, 49, 107	uzind4 9679	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
109	3, 108	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ^cexp 10647   abscabs 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11711