Theorem cvgratnnlemnexp 12291

Description: Lemma for cvgratnn 12298. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnnlemnexp.n	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemnexp	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k

Proof of Theorem cvgratnnlemnexp

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnnlemnexp.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		nnuz 9958	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	eleqtrdi 2331	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		2fveq3 5700	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
5		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( w - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
6	5	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( 1 - 1 ) ) )
7	6	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
8	4, 7	breq12d 4143	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
10		2fveq3 5700	. . . . 5 |- ( w = k -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
11		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - 1 ) = ( k - 1 ) )
12	11	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( k - 1 ) ) )
13	12	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) )
14	10, 13	breq12d 4143	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
16		2fveq3 5700	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
17		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
18	17	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
19	18	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
20	16, 19	breq12d 4143	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
22		2fveq3 5700	. . . . 5 |- ( w = N -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
23		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - 1 ) = ( N - 1 ) )
24	23	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( N - 1 ) ) )
25	24	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4143	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
28		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
29	28	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` 1 ) e. CC ) )
30		cvgratnn.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	30	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
32		1nn 9315	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
33	32	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
34	29, 31, 33	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
35	34	abscld 11947	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
36	35	leidd 8842	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
37		1m1e0 9373	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
38	37	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
39	38	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( 1 - 1 ) ) = ( A ^ 0 ) )
40		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
41	40	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
42	41	exp0d 11105	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
43	39, 42	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( 1 - 1 ) ) = 1 )
44	43	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. 1 ) )
45	35	recnd 8354	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
46	45	mulridd 8343	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
47	44, 46	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
48	36, 47	breqtrrd 4158	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
49	48	a1i 9	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
50		elnnuz 9959	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
51	30	abscld 11947	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
52	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
53	40	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
54		nnm1nn0 9604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
56	53, 55	reexpcld 11128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( k - 1 ) ) e. RR )
57	52, 56	remulcld 8356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
58		0red 8327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 e. RR )
59		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < A )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < A )
61	58, 53, 60	ltled 8445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
62		lemul2a 9189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
63	62	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
64	51, 57, 53, 61, 63	syl112anc 1282	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
65	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
66	45	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
67	56	recnd 8354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
68	65, 66, 67	mul12d 8478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
69	65, 55	expp1d 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k - 1 ) ) x. A ) )
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
71	70	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
72		1cnd 8342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 1 e. CC )
73	71, 72, 72	addsubd 8658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = ( ( k - 1 ) + 1 ) )
74	73	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( A ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
75	65, 67	mulcomd 8347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( k - 1 ) ) x. A ) )
76	69, 74, 75	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
77	76	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
78	68, 77	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
79	78	breq2d 4142	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) <-> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
80	64, 79	sylibd 149	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
81		cvgratnn.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
82		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
83	82	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
84		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85	84	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
86	85	cbvralv 2786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
87	31, 86	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
89		peano2nn 9316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
91	83, 88, 90	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
92	91	abscld 11947	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
93	53, 51	remulcld 8356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
94		elnnuz 9959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. NN <-> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
95	89, 94	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97		uznn0sub 9954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
99	53, 98	reexpcld 11128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) e. RR )
100	52, 99	remulcld 8356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. RR )
101		letr 8408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
102	92, 93, 100, 101	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
103	81, 102	mpand 433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
104	80, 103	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
105	50, 104	sylan2br 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
106	105	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
107	106	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
108	9, 15, 21, 27, 49, 107	uzind4 9988	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
109	3, 108	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ^cexp 10975   abscabs 11763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  cvgratnnlemfm  12296