Theorem cvgratnnlemnexp 12084

Description: Lemma for cvgratnn 12091. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnnlemnexp.n	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemnexp	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k

Proof of Theorem cvgratnnlemnexp

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnnlemnexp.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		nnuz 9791	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	eleqtrdi 2324	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		2fveq3 5644	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
5		oveq1 6024	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( w - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
6	5	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( 1 - 1 ) ) )
7	6	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
8	4, 7	breq12d 4101	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
10		2fveq3 5644	. . . . 5 |- ( w = k -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
11		oveq1 6024	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - 1 ) = ( k - 1 ) )
12	11	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( k - 1 ) ) )
13	12	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) )
14	10, 13	breq12d 4101	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
16		2fveq3 5644	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
17		oveq1 6024	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
18	17	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
19	18	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
20	16, 19	breq12d 4101	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
22		2fveq3 5644	. . . . 5 |- ( w = N -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
23		oveq1 6024	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - 1 ) = ( N - 1 ) )
24	23	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( N - 1 ) ) )
25	24	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4101	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
28		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
29	28	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` 1 ) e. CC ) )
30		cvgratnn.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	30	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
32		1nn 9153	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
33	32	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
34	29, 31, 33	rspcdva 2915	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
35	34	abscld 11741	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
36	35	leidd 8693	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
37		1m1e0 9211	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
38	37	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
39	38	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( 1 - 1 ) ) = ( A ^ 0 ) )
40		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
41	40	recnd 8207	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
42	41	exp0d 10928	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
43	39, 42	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( 1 - 1 ) ) = 1 )
44	43	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. 1 ) )
45	35	recnd 8207	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
46	45	mulridd 8195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
47	44, 46	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
48	36, 47	breqtrrd 4116	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
49	48	a1i 9	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
50		elnnuz 9792	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
51	30	abscld 11741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
52	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
53	40	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
54		nnm1nn0 9442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
56	53, 55	reexpcld 10951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( k - 1 ) ) e. RR )
57	52, 56	remulcld 8209	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
58		0red 8179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 e. RR )
59		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < A )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < A )
61	58, 53, 60	ltled 8297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
62		lemul2a 9038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
63	62	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
64	51, 57, 53, 61, 63	syl112anc 1277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
65	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
66	45	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
67	56	recnd 8207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
68	65, 66, 67	mul12d 8330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
69	65, 55	expp1d 10935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k - 1 ) ) x. A ) )
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
71	70	nncnd 9156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
72		1cnd 8194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 1 e. CC )
73	71, 72, 72	addsubd 8510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = ( ( k - 1 ) + 1 ) )
74	73	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( A ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
75	65, 67	mulcomd 8200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( k - 1 ) ) x. A ) )
76	69, 74, 75	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
77	76	oveq2d 6033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
78	68, 77	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
79	78	breq2d 4100	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) <-> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
80	64, 79	sylibd 149	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
81		cvgratnn.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
82		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
83	82	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
84		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85	84	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
86	85	cbvralv 2767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
87	31, 86	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
89		peano2nn 9154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
91	83, 88, 90	rspcdva 2915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
92	91	abscld 11741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
93	53, 51	remulcld 8209	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
94		elnnuz 9792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. NN <-> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
95	89, 94	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97		uznn0sub 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
99	53, 98	reexpcld 10951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) e. RR )
100	52, 99	remulcld 8209	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. RR )
101		letr 8261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
102	92, 93, 100, 101	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
103	81, 102	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
104	80, 103	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
105	50, 104	sylan2br 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
106	105	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
107	106	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
108	9, 15, 21, 27, 49, 107	uzind4 9821	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
109	3, 108	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ^cexp 10799   abscabs 11557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  12089