Theorem cvgratnnlemnexp 11689

Description: Lemma for cvgratnn 11696. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnnlemnexp.n	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemnexp	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k

Proof of Theorem cvgratnnlemnexp

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnnlemnexp.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		nnuz 9637	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	eleqtrdi 2289	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		2fveq3 5563	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
5		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( w - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
6	5	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( 1 - 1 ) ) )
7	6	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
8	4, 7	breq12d 4046	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
10		2fveq3 5563	. . . . 5 |- ( w = k -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
11		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - 1 ) = ( k - 1 ) )
12	11	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( k - 1 ) ) )
13	12	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) )
14	10, 13	breq12d 4046	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
16		2fveq3 5563	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
17		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
18	17	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
19	18	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
20	16, 19	breq12d 4046	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
22		2fveq3 5563	. . . . 5 |- ( w = N -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
23		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - 1 ) = ( N - 1 ) )
24	23	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A ^ ( w - 1 ) ) = ( A ^ ( N - 1 ) ) )
25	24	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4046	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
28		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
29	28	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` 1 ) e. CC ) )
30		cvgratnn.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	30	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
32		1nn 9001	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
33	32	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
34	29, 31, 33	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
35	34	abscld 11346	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
36	35	leidd 8541	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
37		1m1e0 9059	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
38	37	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
39	38	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( 1 - 1 ) ) = ( A ^ 0 ) )
40		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
41	40	recnd 8055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
42	41	exp0d 10759	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
43	39, 42	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( 1 - 1 ) ) = 1 )
44	43	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. 1 ) )
45	35	recnd 8055	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
46	45	mulridd 8043	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
47	44, 46	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
48	36, 47	breqtrrd 4061	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
49	48	a1i 9	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
50		elnnuz 9638	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
51	30	abscld 11346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
52	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
53	40	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
54		nnm1nn0 9290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
56	53, 55	reexpcld 10782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( k - 1 ) ) e. RR )
57	52, 56	remulcld 8057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
58		0red 8027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 e. RR )
59		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < A )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < A )
61	58, 53, 60	ltled 8145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
62		lemul2a 8886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
63	62	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
64	51, 57, 53, 61, 63	syl112anc 1253	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
65	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
66	45	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
67	56	recnd 8055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
68	65, 66, 67	mul12d 8178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
69	65, 55	expp1d 10766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k - 1 ) ) x. A ) )
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
71	70	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
72		1cnd 8042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 1 e. CC )
73	71, 72, 72	addsubd 8358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = ( ( k - 1 ) + 1 ) )
74	73	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( A ^ ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
75	65, 67	mulcomd 8048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( k - 1 ) ) x. A ) )
76	69, 74, 75	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
77	76	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
78	68, 77	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
79	78	breq2d 4045	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) <-> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
80	64, 79	sylibd 149	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
81		cvgratnn.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
82		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
83	82	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
84		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85	84	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
86	85	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
87	31, 86	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
89		peano2nn 9002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
91	83, 88, 90	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
92	91	abscld 11346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
93	53, 51	remulcld 8057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
94		elnnuz 9638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. NN <-> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
95	89, 94	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97		uznn0sub 9633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
99	53, 98	reexpcld 10782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) e. RR )
100	52, 99	remulcld 8057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. RR )
101		letr 8109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
102	92, 93, 100, 101	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
103	81, 102	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
104	80, 103	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
105	50, 104	sylan2br 288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
106	105	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
107	106	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
108	9, 15, 21, 27, 49, 107	uzind4 9662	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
109	3, 108	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ^cexp 10630   abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11694