Theorem lgsquad2lem1 15238

Description: Lemma for lgsquad2 15240. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	|- ( ph -> M e. NN )
lgsquad2.2	|- ( ph -> -. 2 || M )
lgsquad2.3	|- ( ph -> N e. NN )
lgsquad2.4	|- ( ph -> -. 2 || N )
lgsquad2.5	|- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
lgsquad2lem1.a	|- ( ph -> A e. NN )
lgsquad2lem1.b	|- ( ph -> B e. NN )
lgsquad2lem1.m	|- ( ph -> ( A x. B ) = M )
lgsquad2lem1.1	|- ( ph -> ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
lgsquad2lem1.2	|- ( ph -> ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2lem1	|- ( ph -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

Proof of Theorem lgsquad2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. B ) = M )
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. NN )
3	2	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. ZZ )
4	3	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. CC )
5		ax-1cn 7967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
6		npcan 8230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A - 1 ) + 1 ) = A )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + 1 ) = A )
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. NN )
9	8	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. ZZ )
10	9	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. CC )
11		npcan 8230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
12	10, 5, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
13	7, 12	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) + 1 ) x. ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( A x. B ) )
14		peano2zm 9358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. ZZ )
16	15	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. CC )
17	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. CC )
18		peano2zm 9358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
19	9, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - 1 ) e. ZZ )
20	19	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - 1 ) e. CC )
21	16, 17, 20, 17	muladdd 8437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) + 1 ) x. ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( 1 x. 1 ) ) + ( ( ( A - 1 ) x. 1 ) + ( ( B - 1 ) x. 1 ) ) ) )
22		1t1e1 9137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. 1 ) = 1
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
24	23	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( 1 x. 1 ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) )
25	16	mulridd 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) x. 1 ) = ( A - 1 ) )
26	20	mulridd 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( B - 1 ) x. 1 ) = ( B - 1 ) )
27	25, 26	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. 1 ) + ( ( B - 1 ) x. 1 ) ) = ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) )
28	24, 27	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( 1 x. 1 ) ) + ( ( ( A - 1 ) x. 1 ) + ( ( B - 1 ) x. 1 ) ) ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
29	21, 28	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) + 1 ) x. ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
30	13, 29	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. B ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
31	1, 30	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
32	31	oveq1d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - 1 ) = ( ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) - 1 ) )
33	16, 20	mulcld 8042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) e. CC )
34		addcl 7999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) e. CC )
35	33, 5, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) e. CC )
36	16, 20	addcld 8041	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) e. CC )
37	35, 36, 17	addsubd 8353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) - 1 ) = ( ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
38		pncan 8227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) )
39	33, 5, 38	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) )
40	39	oveq1d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
41	32, 37, 40	3eqtrd 2230	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M - 1 ) = ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
42	41	oveq1d 5934	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) / 2 ) )
43		2cnd 9057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
44		2ap0 9077	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
45	44	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 # 0 )
46	33, 36, 43, 45	divdirapd 8850	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) / 2 ) + ( ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) / 2 ) ) )
47	16, 20, 43, 45	divassapd 8847	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) / 2 ) = ( ( A - 1 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) )
48	16, 43, 45	divcanap2d 8813	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( A - 1 ) / 2 ) ) = ( A - 1 ) )
49	48	oveq1d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( A - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) = ( ( A - 1 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) )
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -. 2 || M )
51		dvdsmul1 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A || ( A x. B ) )
52	3, 9, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A || ( A x. B ) )
53	52, 1	breqtrd 4056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A || M )
54		2z 9348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. ZZ
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. NN )
56	55	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. ZZ )
57		dvdstr 11974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 2 || A /\ A || M ) -> 2 || M ) )
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 || A /\ A || M ) -> 2 || M ) )
59	53, 58	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 || A -> 2 || M ) )
60	50, 59	mtod 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. 2 || A )
61		1zzd 9347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
62		2prm 12268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. Prime
63		nprmdvds1 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. Prime -> -. 2 || 1 )
64	62, 63	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. 2 || 1 )
65		omoe 12040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( A - 1 ) )
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 || ( A - 1 ) )
67		2ne0 9076	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
68	67	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
69		dvdsval2 11936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( A - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( A - 1 ) <-> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
70	54, 68, 15, 69	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 || ( A - 1 ) <-> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
71	66, 70	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
72	71	zcnd 9443	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. CC )
73		dvdsmul2 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B || ( A x. B ) )
74	3, 9, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B || ( A x. B ) )
75	74, 1	breqtrd 4056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B || M )
76		dvdstr 11974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. ZZ /\ B e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 2 || B /\ B || M ) -> 2 || M ) )
77	54, 9, 56, 76	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 || B /\ B || M ) -> 2 || M ) )
78	75, 77	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 || B -> 2 || M ) )
79	50, 78	mtod 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. 2 || B )
80		omoe 12040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. ZZ /\ -. 2 || B ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( B - 1 ) )
81	9, 79, 61, 64, 80	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 || ( B - 1 ) )
82		dvdsval2 11936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( B - 1 ) <-> ( ( B - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
83	54, 68, 19, 82	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 || ( B - 1 ) <-> ( ( B - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
85	84	zcnd 9443	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - 1 ) / 2 ) e. CC )
86	43, 72, 85	mulassd 8045	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( A - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) )
87	47, 49, 86	3eqtr2d 2232	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) / 2 ) = ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) )
88	16, 20, 43, 45	divdirapd 8850	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) )
89	87, 88	oveq12d 5937	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) / 2 ) + ( ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) )
90	42, 46, 89	3eqtrd 2230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) )
91	90	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
92	54	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
93	71, 84	zmulcld 9448	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
94	92, 93	zmulcld 9448	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) e. ZZ )
95	94	zcnd 9443	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
96	71, 84	zaddcld 9446	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
97	96	zcnd 9443	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
98		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
99	98	nnzd 9441	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
100		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 2 || N )
101		omoe 12040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( N - 1 ) )
102	99, 100, 61, 64, 101	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 || ( N - 1 ) )
103		peano2zm 9358	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
104	99, 103	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
105		dvdsval2 11936	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
106	54, 68, 104, 105	mp3an2i 1353	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
107	102, 106	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
108	107	zcnd 9443	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. CC )
109	95, 97, 108	adddird 8047	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
110	93	zcnd 9443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
111	43, 110, 108	mulassd 8045	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
112	111	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
113	91, 109, 112	3eqtrd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
114	113	oveq2d 5935	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
115		neg1cn 9089	. . . . . 6 |- -u 1 e. CC
116	115	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
117		neg1ap0 9093	. . . . . 6 |- -u 1 # 0
118	117	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 # 0 )
119	93, 107	zmulcld 9448	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
120	92, 119	zmulcld 9448	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) e. ZZ )
121	96, 107	zmulcld 9448	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
122		expaddzap 10657	. . . . 5 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
123	116, 118, 120, 121, 122	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
124		expmulzap 10659	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
125	116, 118, 92, 119, 124	syl22anc 1250	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
126		neg1sqe1 10708	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
127	126	oveq1i 5929	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
128		1exp 10642	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = 1 )
129	119, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = 1 )
130	127, 129	eqtrid 2238	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = 1 )
131	125, 130	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = 1 )
132	131	oveq1d 5934	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( 1 x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
133	123, 132	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( 1 x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
134	116, 118, 121	expclzapd 10752	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
135	134	mullidd 8039	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
136	72, 85, 108	adddird 8047	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
137	136	oveq2d 5935	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
138	135, 137	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
139	114, 133, 138	3eqtrd 2230	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
140		lgsquad2lem1.1	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
141		lgsquad2lem1.2	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
142	140, 141	oveq12d 5937	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) x. ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
143	71, 107	zmulcld 9448	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
144	84, 107	zmulcld 9448	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
145		expaddzap 10657	. . . 4 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
146	116, 118, 143, 144, 145	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
147	142, 146	eqtr4d 2229	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) x. ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
148		lgscl 15171	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
149	3, 99, 148	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( A /L N ) e. ZZ )
150	149	zcnd 9443	. . . 4 |- ( ph -> ( A /L N ) e. CC )
151		lgscl 15171	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( B /L N ) e. ZZ )
152	9, 99, 151	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( B /L N ) e. ZZ )
153	152	zcnd 9443	. . . 4 |- ( ph -> ( B /L N ) e. CC )
154		lgscl 15171	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( N /L A ) e. ZZ )
155	99, 3, 154	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N /L A ) e. ZZ )
156	155	zcnd 9443	. . . 4 |- ( ph -> ( N /L A ) e. CC )
157		lgscl 15171	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( N /L B ) e. ZZ )
158	99, 9, 157	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N /L B ) e. ZZ )
159	158	zcnd 9443	. . . 4 |- ( ph -> ( N /L B ) e. CC )
160	150, 153, 156, 159	mul4d 8176	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) x. ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) ) = ( ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) x. ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) ) )
161	2	nnne0d 9029	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= 0 )
162	8	nnne0d 9029	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= 0 )
163		lgsdir 15192	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( A =/= 0 /\ B =/= 0 ) ) -> ( ( A x. B ) /L N ) = ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) )
164	3, 9, 99, 161, 162, 163	syl32anc 1257	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A x. B ) /L N ) = ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) )
165	1	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A x. B ) /L N ) = ( M /L N ) )
166	164, 165	eqtr3d 2228	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) = ( M /L N ) )
167		lgsdi 15194	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A =/= 0 /\ B =/= 0 ) ) -> ( N /L ( A x. B ) ) = ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) )
168	99, 3, 9, 161, 162, 167	syl32anc 1257	. . . . 5 |- ( ph -> ( N /L ( A x. B ) ) = ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) )
169	1	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( ph -> ( N /L ( A x. B ) ) = ( N /L M ) )
170	168, 169	eqtr3d 2228	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) = ( N /L M ) )
171	166, 170	oveq12d 5937	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) x. ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) ) = ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) )
172	160, 171	eqtr3d 2228	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) x. ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) ) = ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) )
173	139, 147, 172	3eqtr2rd 2233	1 |- ( ph -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   - cmin 8192   -ucneg 8193   # cap 8602   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   ZZcz 9320   ^cexp 10612   || cdvds 11933   gcd cgcd 12082   Primecprime 12248   /Lclgs 15154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-proddc 11697  df-dvds 11934  df-gcd 12083  df-prm 12249  df-phi 12352  df-pc 12426  df-lgs 15155

This theorem is referenced by:  lgsquad2lem2  15239