Theorem lgsquad2lem1 16212

Description: Lemma for lgsquad2 16214. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	|- ( ph -> M e. NN )
lgsquad2.2	|- ( ph -> -. 2 || M )
lgsquad2.3	|- ( ph -> N e. NN )
lgsquad2.4	|- ( ph -> -. 2 || N )
lgsquad2.5	|- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
lgsquad2lem1.a	|- ( ph -> A e. NN )
lgsquad2lem1.b	|- ( ph -> B e. NN )
lgsquad2lem1.m	|- ( ph -> ( A x. B ) = M )
lgsquad2lem1.1	|- ( ph -> ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
lgsquad2lem1.2	|- ( ph -> ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2lem1	|- ( ph -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

Proof of Theorem lgsquad2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. B ) = M )
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. NN )
3	2	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. ZZ )
4	3	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. CC )
5		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
6		npcan 8535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A - 1 ) + 1 ) = A )
7	4, 5, 6	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + 1 ) = A )
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. NN )
9	8	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. ZZ )
10	9	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. CC )
11		npcan 8535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
12	10, 5, 11	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
13	7, 12	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) + 1 ) x. ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( A x. B ) )
14		peano2zm 9684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. ZZ )
16	15	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. CC )
17	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. CC )
18		peano2zm 9684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
19	9, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - 1 ) e. ZZ )
20	19	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - 1 ) e. CC )
21	16, 17, 20, 17	muladdd 8743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) + 1 ) x. ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( 1 x. 1 ) ) + ( ( ( A - 1 ) x. 1 ) + ( ( B - 1 ) x. 1 ) ) ) )
22		1t1e1 9458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. 1 ) = 1
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
24	23	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( 1 x. 1 ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) )
25	16	mulridd 8343	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) x. 1 ) = ( A - 1 ) )
26	20	mulridd 8343	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( B - 1 ) x. 1 ) = ( B - 1 ) )
27	25, 26	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. 1 ) + ( ( B - 1 ) x. 1 ) ) = ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) )
28	24, 27	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( 1 x. 1 ) ) + ( ( ( A - 1 ) x. 1 ) + ( ( B - 1 ) x. 1 ) ) ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
29	21, 28	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) + 1 ) x. ( ( B - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
30	13, 29	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. B ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
31	1, 30	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
32	31	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - 1 ) = ( ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) - 1 ) )
33	16, 20	mulcld 8346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) e. CC )
34		addcl 8304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) e. CC )
35	33, 5, 34	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) e. CC )
36	16, 20	addcld 8345	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) e. CC )
37	35, 36, 17	addsubd 8658	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) - 1 ) = ( ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
38		pncan 8532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) )
39	33, 5, 38	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) = ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) )
40	39	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
41	32, 37, 40	3eqtrd 2275	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M - 1 ) = ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) )
42	41	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) / 2 ) )
43		2cnd 9378	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
44		2ap0 9398	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
45	44	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 # 0 )
46	33, 36, 43, 45	divdirapd 9160	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) + ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) / 2 ) + ( ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) / 2 ) ) )
47	16, 20, 43, 45	divassapd 9157	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) / 2 ) = ( ( A - 1 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) )
48	16, 43, 45	divcanap2d 9123	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( A - 1 ) / 2 ) ) = ( A - 1 ) )
49	48	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( A - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) = ( ( A - 1 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) )
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -. 2 || M )
51		dvdsmul1 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A || ( A x. B ) )
52	3, 9, 51	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A || ( A x. B ) )
53	52, 1	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A || M )
54		2z 9674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. ZZ
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. NN )
56	55	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. ZZ )
57		dvdstr 12597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 2 || A /\ A || M ) -> 2 || M ) )
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 || A /\ A || M ) -> 2 || M ) )
59	53, 58	mpan2d 432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 || A -> 2 || M ) )
60	50, 59	mtod 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. 2 || A )
61		1zzd 9673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
62		2prm 12907	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. Prime
63		nprmdvds1 12920	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. Prime -> -. 2 || 1 )
64	62, 63	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. 2 || 1 )
65		omoe 12665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( A - 1 ) )
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 || ( A - 1 ) )
67		2ne0 9397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
68	67	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
69		dvdsval2 12559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( A - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( A - 1 ) <-> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
70	54, 68, 15, 69	mp3an2i 1383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 || ( A - 1 ) <-> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
71	66, 70	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
72	71	zcnd 9771	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. CC )
73		dvdsmul2 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B || ( A x. B ) )
74	3, 9, 73	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B || ( A x. B ) )
75	74, 1	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B || M )
76		dvdstr 12597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. ZZ /\ B e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 2 || B /\ B || M ) -> 2 || M ) )
77	54, 9, 56, 76	mp3an2i 1383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 || B /\ B || M ) -> 2 || M ) )
78	75, 77	mpan2d 432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 || B -> 2 || M ) )
79	50, 78	mtod 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. 2 || B )
80		omoe 12665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. ZZ /\ -. 2 || B ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( B - 1 ) )
81	9, 79, 61, 64, 80	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 || ( B - 1 ) )
82		dvdsval2 12559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( B - 1 ) <-> ( ( B - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
83	54, 68, 19, 82	mp3an2i 1383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 || ( B - 1 ) <-> ( ( B - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
85	84	zcnd 9771	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - 1 ) / 2 ) e. CC )
86	43, 72, 85	mulassd 8349	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( A - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) )
87	47, 49, 86	3eqtr2d 2277	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) / 2 ) = ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) )
88	16, 20, 43, 45	divdirapd 9160	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) )
89	87, 88	oveq12d 6103	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) x. ( B - 1 ) ) / 2 ) + ( ( ( A - 1 ) + ( B - 1 ) ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) )
90	42, 46, 89	3eqtrd 2275	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) )
91	90	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
92	54	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
93	71, 84	zmulcld 9776	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
94	92, 93	zmulcld 9776	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) e. ZZ )
95	94	zcnd 9771	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
96	71, 84	zaddcld 9774	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
97	96	zcnd 9771	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
98		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
99	98	nnzd 9769	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
100		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 2 || N )
101		omoe 12665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( N - 1 ) )
102	99, 100, 61, 64, 101	syl22anc 1279	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 || ( N - 1 ) )
103		peano2zm 9684	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
104	99, 103	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
105		dvdsval2 12559	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
106	54, 68, 104, 105	mp3an2i 1383	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
107	102, 106	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
108	107	zcnd 9771	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. CC )
109	95, 97, 108	adddird 8351	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
110	93	zcnd 9771	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
111	43, 110, 108	mulassd 8349	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
112	111	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
113	91, 109, 112	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
114	113	oveq2d 6101	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
115		neg1cn 9410	. . . . . 6 |- -u 1 e. CC
116	115	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
117		neg1ap0 9414	. . . . . 6 |- -u 1 # 0
118	117	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 # 0 )
119	93, 107	zmulcld 9776	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
120	92, 119	zmulcld 9776	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) e. ZZ )
121	96, 107	zmulcld 9776	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
122		expaddzap 11022	. . . . 5 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
123	116, 118, 120, 121, 122	syl22anc 1279	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
124		expmulzap 11024	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
125	116, 118, 92, 119, 124	syl22anc 1279	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
126		neg1sqe1 11073	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
127	126	oveq1i 6095	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
128		1exp 11007	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = 1 )
129	119, 128	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = 1 )
130	127, 129	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = 1 )
131	125, 130	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = 1 )
132	131	oveq1d 6100	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( 1 x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
133	123, 132	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( 2 x. ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) + ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( 1 x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
134	116, 118, 121	expclzapd 11118	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) e. CC )
135	134	mullidd 8344	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
136	72, 85, 108	adddird 8351	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
137	136	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
138	135, 137	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) + ( ( B - 1 ) / 2 ) ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
139	114, 133, 138	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
140		lgsquad2lem1.1	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
141		lgsquad2lem1.2	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
142	140, 141	oveq12d 6103	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) x. ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
143	71, 107	zmulcld 9776	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
144	84, 107	zmulcld 9776	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
145		expaddzap 11022	. . . 4 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
146	116, 118, 143, 144, 145	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) x. ( -u 1 ^ ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
147	142, 146	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) x. ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( A - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + ( ( ( B - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
148		lgscl 16145	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
149	3, 99, 148	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( A /L N ) e. ZZ )
150	149	zcnd 9771	. . . 4 |- ( ph -> ( A /L N ) e. CC )
151		lgscl 16145	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( B /L N ) e. ZZ )
152	9, 99, 151	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( B /L N ) e. ZZ )
153	152	zcnd 9771	. . . 4 |- ( ph -> ( B /L N ) e. CC )
154		lgscl 16145	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( N /L A ) e. ZZ )
155	99, 3, 154	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( N /L A ) e. ZZ )
156	155	zcnd 9771	. . . 4 |- ( ph -> ( N /L A ) e. CC )
157		lgscl 16145	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( N /L B ) e. ZZ )
158	99, 9, 157	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( N /L B ) e. ZZ )
159	158	zcnd 9771	. . . 4 |- ( ph -> ( N /L B ) e. CC )
160	150, 153, 156, 159	mul4d 8481	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) x. ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) ) = ( ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) x. ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) ) )
161	2	nnne0d 9350	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= 0 )
162	8	nnne0d 9350	. . . . . 6 |- ( ph -> B =/= 0 )
163		lgsdir 16166	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( A =/= 0 /\ B =/= 0 ) ) -> ( ( A x. B ) /L N ) = ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) )
164	3, 9, 99, 161, 162, 163	syl32anc 1286	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A x. B ) /L N ) = ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) )
165	1	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A x. B ) /L N ) = ( M /L N ) )
166	164, 165	eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) = ( M /L N ) )
167		lgsdi 16168	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A =/= 0 /\ B =/= 0 ) ) -> ( N /L ( A x. B ) ) = ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) )
168	99, 3, 9, 161, 162, 167	syl32anc 1286	. . . . 5 |- ( ph -> ( N /L ( A x. B ) ) = ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) )
169	1	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( ph -> ( N /L ( A x. B ) ) = ( N /L M ) )
170	168, 169	eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) = ( N /L M ) )
171	166, 170	oveq12d 6103	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( B /L N ) ) x. ( ( N /L A ) x. ( N /L B ) ) ) = ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) )
172	160, 171	eqtr3d 2273	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A /L N ) x. ( N /L A ) ) x. ( ( B /L N ) x. ( N /L B ) ) ) = ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) )
173	139, 147, 172	3eqtr2rd 2278	1 |- ( ph -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   - cmin 8497   -ucneg 8498   # cap 8910   / cdiv 9003   NNcn 9305   2c2 9356   ZZcz 9646   ^cexp 10977   || cdvds 12556   gcd cgcd 12732   Primecprime 12887   /Lclgs 16128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-proddc 12320  df-dvds 12557  df-gcd 12733  df-prm 12888  df-phi 12991  df-pc 13066  df-lgs 16129

This theorem is used by:  lgsquad2lem2  16213