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Theorem lgsquad2lem1 16003

Description: Lemma for lgsquad2 16005. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1
lgsquad2.2
lgsquad2.3
lgsquad2.4
lgsquad2.5
lgsquad2lem1.a
lgsquad2lem1.b
lgsquad2lem1.m
lgsquad2lem1.1
lgsquad2lem1.2

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem1

**Proof of Theorem lgsquad2lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16
3	2	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	zcnd 9707	. . . . . . . . . . . . . 14
5		ax-1cn 8225	. . . . . . . . . . . . . 14
6		npcan 8487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9	8	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	9	zcnd 9707	. . . . . . . . . . . . . 14
11		npcan 8487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
12	10, 5, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13
13	7, 12	oveq12d 6070	. . . . . . . . . . . 12
14		peano2zm 9620	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	15	zcnd 9707	. . . . . . . . . . . . . 14
17	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
18		peano2zm 9620	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	9, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	zcnd 9707	. . . . . . . . . . . . . 14
21	16, 17, 20, 17	muladdd 8694	. . . . . . . . . . . . 13
22		1t1e1 9395	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	23	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14
25	16	mulridd 8296	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	20	mulridd 8296	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	25, 26	oveq12d 6070	. . . . . . . . . . . . . 14
28	24, 27	oveq12d 6070	. . . . . . . . . . . . 13
29	21, 28	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12
30	13, 29	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . 11
31	1, 30	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . 10
32	31	oveq1d 6067	. . . . . . . . 9
33	16, 20	mulcld 8299	. . . . . . . . . . 11
34		addcl 8257	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	33, 5, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . 10
36	16, 20	addcld 8298	. . . . . . . . . 10
37	35, 36, 17	addsubd 8610	. . . . . . . . 9
38		pncan 8484	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	33, 5, 38	sylancl 413	. . . . . . . . . 10
40	39	oveq1d 6067	. . . . . . . . 9
41	32, 37, 40	3eqtrd 2271	. . . . . . . 8
42	41	oveq1d 6067	. . . . . . 7
43		2cnd 9315	. . . . . . . 8
44		2ap0 9335	. . . . . . . . 9 #
45	44	a1i 9	. . . . . . . 8 #
46	33, 36, 43, 45	divdirapd 9108	. . . . . . 7
47	16, 20, 43, 45	divassapd 9105	. . . . . . . . 9
48	16, 43, 45	divcanap2d 9071	. . . . . . . . . 10
49	48	oveq1d 6067	. . . . . . . . 9
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14
51		dvdsmul1 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
52	3, 9, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	52, 1	breqtrd 4137	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		2z 9610	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	55	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57		dvdstr 12522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
59	53, 58	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14
60	50, 59	mtod 669	. . . . . . . . . . . . 13
61		1zzd 9609	. . . . . . . . . . . . 13
62		2prm 12832	. . . . . . . . . . . . . 14
63		nprmdvds1 12845	. . . . . . . . . . . . . 14
64	62, 63	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13
65		omoe 12590	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . 12
67		2ne0 9334	. . . . . . . . . . . . . 14
68	67	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
69		dvdsval2 12484	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70	54, 68, 15, 69	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . . 12
71	66, 70	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
72	71	zcnd 9707	. . . . . . . . . 10
73		dvdsmul2 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74	3, 9, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74, 1	breqtrd 4137	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		dvdstr 12522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
77	54, 9, 56, 76	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
78	75, 77	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14
79	50, 78	mtod 669	. . . . . . . . . . . . 13
80		omoe 12590	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
81	9, 79, 61, 64, 80	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . 12
82		dvdsval2 12484	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	54, 68, 19, 82	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . . 12
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
85	84	zcnd 9707	. . . . . . . . . 10
86	43, 72, 85	mulassd 8302	. . . . . . . . 9
87	47, 49, 86	3eqtr2d 2273	. . . . . . . 8
88	16, 20, 43, 45	divdirapd 9108	. . . . . . . 8
89	87, 88	oveq12d 6070	. . . . . . 7
90	42, 46, 89	3eqtrd 2271	. . . . . 6
91	90	oveq1d 6067	. . . . 5
92	54	a1i 9	. . . . . . . 8
93	71, 84	zmulcld 9712	. . . . . . . 8
94	92, 93	zmulcld 9712	. . . . . . 7
95	94	zcnd 9707	. . . . . 6
96	71, 84	zaddcld 9710	. . . . . . 7
97	96	zcnd 9707	. . . . . 6
98		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10
99	98	nnzd 9705	. . . . . . . . 9
100		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9
101		omoe 12590	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 100, 61, 64, 101	syl22anc 1275	. . . . . . . 8
103		peano2zm 9620	. . . . . . . . . 10
104	99, 103	syl 14	. . . . . . . . 9
105		dvdsval2 12484	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
106	54, 68, 104, 105	mp3an2i 1379	. . . . . . . 8
107	102, 106	mpbid 147	. . . . . . 7
108	107	zcnd 9707	. . . . . 6
109	95, 97, 108	adddird 8304	. . . . 5
110	93	zcnd 9707	. . . . . . 7
111	43, 110, 108	mulassd 8302	. . . . . 6
112	111	oveq1d 6067	. . . . 5
113	91, 109, 112	3eqtrd 2271	. . . 4
114	113	oveq2d 6068	. . 3
115		neg1cn 9347	. . . . . 6
116	115	a1i 9	. . . . 5
117		neg1ap0 9351	. . . . . 6 #
118	117	a1i 9	. . . . 5 #
119	93, 107	zmulcld 9712	. . . . . 6
120	92, 119	zmulcld 9712	. . . . 5
121	96, 107	zmulcld 9712	. . . . 5
122		expaddzap 10952	. . . . 5 $/\$ # $/\$ $/\$
123	116, 118, 120, 121, 122	syl22anc 1275	. . . 4
124		expmulzap 10954	. . . . . . 7 $/\$ # $/\$ $/\$
125	116, 118, 92, 119, 124	syl22anc 1275	. . . . . 6
126		neg1sqe1 11003	. . . . . . . 8
127	126	oveq1i 6062	. . . . . . 7
128		1exp 10937	. . . . . . . 8
129	119, 128	syl 14	. . . . . . 7
130	127, 129	eqtrid 2279	. . . . . 6
131	125, 130	eqtrd 2267	. . . . 5
132	131	oveq1d 6067	. . . 4
133	123, 132	eqtrd 2267	. . 3
134	116, 118, 121	expclzapd 11048	. . . . 5
135	134	mullidd 8297	. . . 4
136	72, 85, 108	adddird 8304	. . . . 5
137	136	oveq2d 6068	. . . 4
138	135, 137	eqtrd 2267	. . 3
139	114, 133, 138	3eqtrd 2271	. 2
140		lgsquad2lem1.1	. . . 4
141		lgsquad2lem1.2	. . . 4
142	140, 141	oveq12d 6070	. . 3
143	71, 107	zmulcld 9712	. . . 4
144	84, 107	zmulcld 9712	. . . 4
145		expaddzap 10952	. . . 4 $/\$ # $/\$ $/\$
146	116, 118, 143, 144, 145	syl22anc 1275	. . 3
147	142, 146	eqtr4d 2270	. 2
148		lgscl 15936	. . . . . 6 $/\$
149	3, 99, 148	syl2anc 411	. . . . 5
150	149	zcnd 9707	. . . 4
151		lgscl 15936	. . . . . 6 $/\$
152	9, 99, 151	syl2anc 411	. . . . 5
153	152	zcnd 9707	. . . 4
154		lgscl 15936	. . . . . 6 $/\$
155	99, 3, 154	syl2anc 411	. . . . 5
156	155	zcnd 9707	. . . 4
157		lgscl 15936	. . . . . 6 $/\$
158	99, 9, 157	syl2anc 411	. . . . 5
159	158	zcnd 9707	. . . 4
160	150, 153, 156, 159	mul4d 8433	. . 3
161	2	nnne0d 9287	. . . . . 6
162	8	nnne0d 9287	. . . . . 6
163		lgsdir 15957	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	3, 9, 99, 161, 162, 163	syl32anc 1282	. . . . 5
165	1	oveq1d 6067	. . . . 5
166	164, 165	eqtr3d 2269	. . . 4
167		lgsdi 15959	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	99, 3, 9, 161, 162, 167	syl32anc 1282	. . . . 5
169	1	oveq2d 6068	. . . . 5
170	168, 169	eqtr3d 2269	. . . 4
171	166, 170	oveq12d 6070	. . 3
172	160, 171	eqtr3d 2269	. 2
173	139, 147, 172	3eqtr2rd 2274	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1398

wcel 2205

wne 2414 class class class wbr 4111 (class class class)co 6052

cc 8130

cc0 8132

c1 8133

caddc 8135

cmul 8137

cmin 8449

cneg 8450 # cap 8860

cdiv 8951

cn 9242

c2 9293

cz 9582

cexp 10907

cdvds 12481

cgcd 12657

cprime 12812

clgs 15919

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4227 ax-sep 4230 ax-nul 4238 ax-pow 4289 ax-pr 4324 ax-un 4556 ax-setind 4661 ax-iinf 4712 ax-cnex 8223 ax-resscn 8224 ax-1cn 8225 ax-1re 8226 ax-icn 8227 ax-addcl 8228 ax-addrcl 8229 ax-mulcl 8230 ax-mulrcl 8231 ax-addcom 8232 ax-mulcom 8233 ax-addass 8234 ax-mulass 8235 ax-distr 8236 ax-i2m1 8237 ax-0lt1 8238 ax-1rid 8239 ax-0id 8240 ax-rnegex 8241 ax-precex 8242 ax-cnre 8243 ax-pre-ltirr 8244 ax-pre-ltwlin 8245 ax-pre-lttrn 8246 ax-pre-apti 8247 ax-pre-ltadd 8248 ax-pre-mulgt0 8249 ax-pre-mulext 8250 ax-arch 8251 ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-xor 1421 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3045 df-csb 3141 df-dif 3215 df-un 3217 df-in 3219 df-ss 3226 df-nul 3511 df-if 3623 df-pw 3673 df-sn 3697 df-pr 3698 df-op 3700 df-uni 3917 df-int 3952 df-iun 3995 df-br 4112 df-opab 4174 df-mpt 4175 df-tr 4211 df-id 4416 df-po 4419 df-iso 4420 df-iord 4489 df-on 4491 df-ilim 4492 df-suc 4494 df-iom 4715 df-xp 4757 df-rel 4758 df-cnv 4759 df-co 4760 df-dm 4761 df-rn 4762 df-res 4763 df-ima 4764 df-iota 5314 df-fun 5356 df-fn 5357 df-f 5358 df-f1 5359 df-fo 5360 df-f1o 5361 df-fv 5362 df-isom 5363 df-riota 6005 df-ov 6055 df-oprab 6056 df-mpo 6057 df-1st 6336 df-2nd 6337 df-recs 6538 df-irdg 6603 df-frec 6624 df-1o 6649 df-2o 6650 df-oadd 6653 df-er 6769 df-en 6978 df-dom 6979 df-fin 6980 df-sup 7277 df-inf 7278 df-pnf 8315 df-mnf 8316 df-xr 8317 df-ltxr 8318 df-le 8319 df-sub 8451 df-neg 8452 df-reap 8854 df-ap 8861 df-div 8952 df-inn 9243 df-2 9301 df-3 9302 df-4 9303 df-5 9304 df-6 9305 df-7 9306 df-8 9307 df-9 9308 df-n0 9502 df-z 9583 df-uz 9860 df-q 9958 df-rp 9993 df-fz 10349 df-fzo 10484 df-fl 10637 df-mod 10692 df-seqfrec 10817 df-exp 10908 df-ihash 11147 df-cj 11535 df-re 11536 df-im 11537 df-rsqrt 11691 df-abs 11692 df-clim 11972 df-proddc 12245 df-dvds 12482 df-gcd 12658 df-prm 12813 df-phi 12916 df-pc 12991 df-lgs 15920

This theorem is referenced by: lgsquad2lem2 16004

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