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Theorem lgsquad2lem1 15803

Description: Lemma for lgsquad2 15805. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1
lgsquad2.2
lgsquad2.3
lgsquad2.4
lgsquad2.5
lgsquad2lem1.a
lgsquad2lem1.b
lgsquad2lem1.m
lgsquad2lem1.1
lgsquad2lem1.2

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem1

**Proof of Theorem lgsquad2lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16
3	2	nnzd 9594	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . 14
5		ax-1cn 8118	. . . . . . . . . . . . . 14
6		npcan 8381	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9	8	nnzd 9594	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	9	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . 14
11		npcan 8381	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
12	10, 5, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13
13	7, 12	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . 12
14		peano2zm 9510	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	15	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . 14
17	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
18		peano2zm 9510	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	9, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . 14
21	16, 17, 20, 17	muladdd 8588	. . . . . . . . . . . . 13
22		1t1e1 9289	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	23	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
25	16	mulridd 8189	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	20	mulridd 8189	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	25, 26	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . 14
28	24, 27	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . 13
29	21, 28	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12
30	13, 29	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . 11
31	1, 30	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . 10
32	31	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9
33	16, 20	mulcld 8193	. . . . . . . . . . 11
34		addcl 8150	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	33, 5, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . 10
36	16, 20	addcld 8192	. . . . . . . . . 10
37	35, 36, 17	addsubd 8504	. . . . . . . . 9
38		pncan 8378	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	33, 5, 38	sylancl 413	. . . . . . . . . 10
40	39	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9
41	32, 37, 40	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8
42	41	oveq1d 6028	. . . . . . 7
43		2cnd 9209	. . . . . . . 8
44		2ap0 9229	. . . . . . . . 9 #
45	44	a1i 9	. . . . . . . 8 #
46	33, 36, 43, 45	divdirapd 9002	. . . . . . 7
47	16, 20, 43, 45	divassapd 8999	. . . . . . . . 9
48	16, 43, 45	divcanap2d 8965	. . . . . . . . . 10
49	48	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14
51		dvdsmul1 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
52	3, 9, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	52, 1	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		2z 9500	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	55	nnzd 9594	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57		dvdstr 12382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
59	53, 58	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14
60	50, 59	mtod 667	. . . . . . . . . . . . 13
61		1zzd 9499	. . . . . . . . . . . . 13
62		2prm 12692	. . . . . . . . . . . . . 14
63		nprmdvds1 12705	. . . . . . . . . . . . . 14
64	62, 63	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13
65		omoe 12450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12
67		2ne0 9228	. . . . . . . . . . . . . 14
68	67	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
69		dvdsval2 12344	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70	54, 68, 15, 69	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . 12
71	66, 70	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
72	71	zcnd 9596	. . . . . . . . . 10
73		dvdsmul2 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74	3, 9, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74, 1	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		dvdstr 12382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
77	54, 9, 56, 76	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
78	75, 77	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14
79	50, 78	mtod 667	. . . . . . . . . . . . 13
80		omoe 12450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
81	9, 79, 61, 64, 80	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12
82		dvdsval2 12344	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	54, 68, 19, 82	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . 12
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
85	84	zcnd 9596	. . . . . . . . . 10
86	43, 72, 85	mulassd 8196	. . . . . . . . 9
87	47, 49, 86	3eqtr2d 2268	. . . . . . . 8
88	16, 20, 43, 45	divdirapd 9002	. . . . . . . 8
89	87, 88	oveq12d 6031	. . . . . . 7
90	42, 46, 89	3eqtrd 2266	. . . . . 6
91	90	oveq1d 6028	. . . . 5
92	54	a1i 9	. . . . . . . 8
93	71, 84	zmulcld 9601	. . . . . . . 8
94	92, 93	zmulcld 9601	. . . . . . 7
95	94	zcnd 9596	. . . . . 6
96	71, 84	zaddcld 9599	. . . . . . 7
97	96	zcnd 9596	. . . . . 6
98		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10
99	98	nnzd 9594	. . . . . . . . 9
100		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9
101		omoe 12450	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 100, 61, 64, 101	syl22anc 1272	. . . . . . . 8
103		peano2zm 9510	. . . . . . . . . 10
104	99, 103	syl 14	. . . . . . . . 9
105		dvdsval2 12344	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
106	54, 68, 104, 105	mp3an2i 1376	. . . . . . . 8
107	102, 106	mpbid 147	. . . . . . 7
108	107	zcnd 9596	. . . . . 6
109	95, 97, 108	adddird 8198	. . . . 5
110	93	zcnd 9596	. . . . . . 7
111	43, 110, 108	mulassd 8196	. . . . . 6
112	111	oveq1d 6028	. . . . 5
113	91, 109, 112	3eqtrd 2266	. . . 4
114	113	oveq2d 6029	. . 3
115		neg1cn 9241	. . . . . 6
116	115	a1i 9	. . . . 5
117		neg1ap0 9245	. . . . . 6 #
118	117	a1i 9	. . . . 5 #
119	93, 107	zmulcld 9601	. . . . . 6
120	92, 119	zmulcld 9601	. . . . 5
121	96, 107	zmulcld 9601	. . . . 5
122		expaddzap 10838	. . . . 5 $/\$ # $/\$ $/\$
123	116, 118, 120, 121, 122	syl22anc 1272	. . . 4
124		expmulzap 10840	. . . . . . 7 $/\$ # $/\$ $/\$
125	116, 118, 92, 119, 124	syl22anc 1272	. . . . . 6
126		neg1sqe1 10889	. . . . . . . 8
127	126	oveq1i 6023	. . . . . . 7
128		1exp 10823	. . . . . . . 8
129	119, 128	syl 14	. . . . . . 7
130	127, 129	eqtrid 2274	. . . . . 6
131	125, 130	eqtrd 2262	. . . . 5
132	131	oveq1d 6028	. . . 4
133	123, 132	eqtrd 2262	. . 3
134	116, 118, 121	expclzapd 10933	. . . . 5
135	134	mullidd 8190	. . . 4
136	72, 85, 108	adddird 8198	. . . . 5
137	136	oveq2d 6029	. . . 4
138	135, 137	eqtrd 2262	. . 3
139	114, 133, 138	3eqtrd 2266	. 2
140		lgsquad2lem1.1	. . . 4
141		lgsquad2lem1.2	. . . 4
142	140, 141	oveq12d 6031	. . 3
143	71, 107	zmulcld 9601	. . . 4
144	84, 107	zmulcld 9601	. . . 4
145		expaddzap 10838	. . . 4 $/\$ # $/\$ $/\$
146	116, 118, 143, 144, 145	syl22anc 1272	. . 3
147	142, 146	eqtr4d 2265	. 2
148		lgscl 15736	. . . . . 6 $/\$
149	3, 99, 148	syl2anc 411	. . . . 5
150	149	zcnd 9596	. . . 4
151		lgscl 15736	. . . . . 6 $/\$
152	9, 99, 151	syl2anc 411	. . . . 5
153	152	zcnd 9596	. . . 4
154		lgscl 15736	. . . . . 6 $/\$
155	99, 3, 154	syl2anc 411	. . . . 5
156	155	zcnd 9596	. . . 4
157		lgscl 15736	. . . . . 6 $/\$
158	99, 9, 157	syl2anc 411	. . . . 5
159	158	zcnd 9596	. . . 4
160	150, 153, 156, 159	mul4d 8327	. . 3
161	2	nnne0d 9181	. . . . . 6
162	8	nnne0d 9181	. . . . . 6
163		lgsdir 15757	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	3, 9, 99, 161, 162, 163	syl32anc 1279	. . . . 5
165	1	oveq1d 6028	. . . . 5
166	164, 165	eqtr3d 2264	. . . 4
167		lgsdi 15759	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	99, 3, 9, 161, 162, 167	syl32anc 1279	. . . . 5
169	1	oveq2d 6029	. . . . 5
170	168, 169	eqtr3d 2264	. . . 4
171	166, 170	oveq12d 6031	. . 3
172	160, 171	eqtr3d 2264	. 2
173	139, 147, 172	3eqtr2rd 2269	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400 class class class wbr 4086 (class class class)co 6013

cc 8023

cc0 8025

c1 8026

caddc 8028

cmul 8030

cmin 8343

cneg 8344 # cap 8754

cdiv 8845

cn 9136

c2 9187

cz 9472

cexp 10793

cdvds 12341

cgcd 12517

cprime 12672

clgs 15719

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8116 ax-resscn 8117 ax-1cn 8118 ax-1re 8119 ax-icn 8120 ax-addcl 8121 ax-addrcl 8122 ax-mulcl 8123 ax-mulrcl 8124 ax-addcom 8125 ax-mulcom 8126 ax-addass 8127 ax-mulass 8128 ax-distr 8129 ax-i2m1 8130 ax-0lt1 8131 ax-1rid 8132 ax-0id 8133 ax-rnegex 8134 ax-precex 8135 ax-cnre 8136 ax-pre-ltirr 8137 ax-pre-ltwlin 8138 ax-pre-lttrn 8139 ax-pre-apti 8140 ax-pre-ltadd 8141 ax-pre-mulgt0 8142 ax-pre-mulext 8143 ax-arch 8144 ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-xor 1418 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-frec 6552 df-1o 6577 df-2o 6578 df-oadd 6581 df-er 6697 df-en 6905 df-dom 6906 df-fin 6907 df-sup 7177 df-inf 7178 df-pnf 8209 df-mnf 8210 df-xr 8211 df-ltxr 8212 df-le 8213 df-sub 8345 df-neg 8346 df-reap 8748 df-ap 8755 df-div 8846 df-inn 9137 df-2 9195 df-3 9196 df-4 9197 df-5 9198 df-6 9199 df-7 9200 df-8 9201 df-9 9202 df-n0 9396 df-z 9473 df-uz 9749 df-q 9847 df-rp 9882 df-fz 10237 df-fzo 10371 df-fl 10523 df-mod 10578 df-seqfrec 10703 df-exp 10794 df-ihash 11031 df-cj 11396 df-re 11397 df-im 11398 df-rsqrt 11552 df-abs 11553 df-clim 11833 df-proddc 12105 df-dvds 12342 df-gcd 12518 df-prm 12673 df-phi 12776 df-pc 12851 df-lgs 15720

This theorem is referenced by: lgsquad2lem2 15804

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