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Theorem lgsquad2lem1 15322

Description: Lemma for lgsquad2 15324. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1
lgsquad2.2
lgsquad2.3
lgsquad2.4
lgsquad2.5
lgsquad2lem1.a
lgsquad2lem1.b
lgsquad2lem1.m
lgsquad2lem1.1
lgsquad2lem1.2

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem1

**Proof of Theorem lgsquad2lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16
3	2	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14
5		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . . . 14
6		npcan 8235	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9	8	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	9	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14
11		npcan 8235	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
12	10, 5, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13
13	7, 12	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . 12
14		peano2zm 9364	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	15	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14
17	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
18		peano2zm 9364	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	9, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14
21	16, 17, 20, 17	muladdd 8442	. . . . . . . . . . . . 13
22		1t1e1 9143	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	23	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . 14
25	16	mulridd 8043	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	20	mulridd 8043	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	25, 26	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14
28	24, 27	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13
29	21, 28	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12
30	13, 29	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . 11
31	1, 30	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . 10
32	31	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9
33	16, 20	mulcld 8047	. . . . . . . . . . 11
34		addcl 8004	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	33, 5, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . 10
36	16, 20	addcld 8046	. . . . . . . . . 10
37	35, 36, 17	addsubd 8358	. . . . . . . . 9
38		pncan 8232	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	33, 5, 38	sylancl 413	. . . . . . . . . 10
40	39	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9
41	32, 37, 40	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8
42	41	oveq1d 5937	. . . . . . 7
43		2cnd 9063	. . . . . . . 8
44		2ap0 9083	. . . . . . . . 9 #
45	44	a1i 9	. . . . . . . 8 #
46	33, 36, 43, 45	divdirapd 8856	. . . . . . 7
47	16, 20, 43, 45	divassapd 8853	. . . . . . . . 9
48	16, 43, 45	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . 10
49	48	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14
51		dvdsmul1 11978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
52	3, 9, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	52, 1	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		2z 9354	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	55	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57		dvdstr 11993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
59	53, 58	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14
60	50, 59	mtod 664	. . . . . . . . . . . . 13
61		1zzd 9353	. . . . . . . . . . . . 13
62		2prm 12295	. . . . . . . . . . . . . 14
63		nprmdvds1 12308	. . . . . . . . . . . . . 14
64	62, 63	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13
65		omoe 12061	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12
67		2ne0 9082	. . . . . . . . . . . . . 14
68	67	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
69		dvdsval2 11955	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70	54, 68, 15, 69	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . 12
71	66, 70	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
72	71	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10
73		dvdsmul2 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74	3, 9, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74, 1	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		dvdstr 11993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
77	54, 9, 56, 76	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
78	75, 77	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14
79	50, 78	mtod 664	. . . . . . . . . . . . 13
80		omoe 12061	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
81	9, 79, 61, 64, 80	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12
82		dvdsval2 11955	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	54, 68, 19, 82	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . 12
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
85	84	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10
86	43, 72, 85	mulassd 8050	. . . . . . . . 9
87	47, 49, 86	3eqtr2d 2235	. . . . . . . 8
88	16, 20, 43, 45	divdirapd 8856	. . . . . . . 8
89	87, 88	oveq12d 5940	. . . . . . 7
90	42, 46, 89	3eqtrd 2233	. . . . . 6
91	90	oveq1d 5937	. . . . 5
92	54	a1i 9	. . . . . . . 8
93	71, 84	zmulcld 9454	. . . . . . . 8
94	92, 93	zmulcld 9454	. . . . . . 7
95	94	zcnd 9449	. . . . . 6
96	71, 84	zaddcld 9452	. . . . . . 7
97	96	zcnd 9449	. . . . . 6
98		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10
99	98	nnzd 9447	. . . . . . . . 9
100		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9
101		omoe 12061	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 100, 61, 64, 101	syl22anc 1250	. . . . . . . 8
103		peano2zm 9364	. . . . . . . . . 10
104	99, 103	syl 14	. . . . . . . . 9
105		dvdsval2 11955	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
106	54, 68, 104, 105	mp3an2i 1353	. . . . . . . 8
107	102, 106	mpbid 147	. . . . . . 7
108	107	zcnd 9449	. . . . . 6
109	95, 97, 108	adddird 8052	. . . . 5
110	93	zcnd 9449	. . . . . . 7
111	43, 110, 108	mulassd 8050	. . . . . 6
112	111	oveq1d 5937	. . . . 5
113	91, 109, 112	3eqtrd 2233	. . . 4
114	113	oveq2d 5938	. . 3
115		neg1cn 9095	. . . . . 6
116	115	a1i 9	. . . . 5
117		neg1ap0 9099	. . . . . 6 #
118	117	a1i 9	. . . . 5 #
119	93, 107	zmulcld 9454	. . . . . 6
120	92, 119	zmulcld 9454	. . . . 5
121	96, 107	zmulcld 9454	. . . . 5
122		expaddzap 10675	. . . . 5 $/\$ # $/\$ $/\$
123	116, 118, 120, 121, 122	syl22anc 1250	. . . 4
124		expmulzap 10677	. . . . . . 7 $/\$ # $/\$ $/\$
125	116, 118, 92, 119, 124	syl22anc 1250	. . . . . 6
126		neg1sqe1 10726	. . . . . . . 8
127	126	oveq1i 5932	. . . . . . 7
128		1exp 10660	. . . . . . . 8
129	119, 128	syl 14	. . . . . . 7
130	127, 129	eqtrid 2241	. . . . . 6
131	125, 130	eqtrd 2229	. . . . 5
132	131	oveq1d 5937	. . . 4
133	123, 132	eqtrd 2229	. . 3
134	116, 118, 121	expclzapd 10770	. . . . 5
135	134	mullidd 8044	. . . 4
136	72, 85, 108	adddird 8052	. . . . 5
137	136	oveq2d 5938	. . . 4
138	135, 137	eqtrd 2229	. . 3
139	114, 133, 138	3eqtrd 2233	. 2
140		lgsquad2lem1.1	. . . 4
141		lgsquad2lem1.2	. . . 4
142	140, 141	oveq12d 5940	. . 3
143	71, 107	zmulcld 9454	. . . 4
144	84, 107	zmulcld 9454	. . . 4
145		expaddzap 10675	. . . 4 $/\$ # $/\$ $/\$
146	116, 118, 143, 144, 145	syl22anc 1250	. . 3
147	142, 146	eqtr4d 2232	. 2
148		lgscl 15255	. . . . . 6 $/\$
149	3, 99, 148	syl2anc 411	. . . . 5
150	149	zcnd 9449	. . . 4
151		lgscl 15255	. . . . . 6 $/\$
152	9, 99, 151	syl2anc 411	. . . . 5
153	152	zcnd 9449	. . . 4
154		lgscl 15255	. . . . . 6 $/\$
155	99, 3, 154	syl2anc 411	. . . . 5
156	155	zcnd 9449	. . . 4
157		lgscl 15255	. . . . . 6 $/\$
158	99, 9, 157	syl2anc 411	. . . . 5
159	158	zcnd 9449	. . . 4
160	150, 153, 156, 159	mul4d 8181	. . 3
161	2	nnne0d 9035	. . . . . 6
162	8	nnne0d 9035	. . . . . 6
163		lgsdir 15276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	3, 9, 99, 161, 162, 163	syl32anc 1257	. . . . 5
165	1	oveq1d 5937	. . . . 5
166	164, 165	eqtr3d 2231	. . . 4
167		lgsdi 15278	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	99, 3, 9, 161, 162, 167	syl32anc 1257	. . . . 5
169	1	oveq2d 5938	. . . . 5
170	168, 169	eqtr3d 2231	. . . 4
171	166, 170	oveq12d 5940	. . 3
172	160, 171	eqtr3d 2231	. 2
173	139, 147, 172	3eqtr2rd 2236	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367 class class class wbr 4033 (class class class)co 5922

cc 7877

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

cmin 8197

cneg 8198 # cap 8608

cdiv 8699

cn 8990

c2 9041

cz 9326

cexp 10630

cdvds 11952

cgcd 12120

cprime 12275

clgs 15238

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-oadd 6478 df-er 6592 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-inf 7051 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-5 9052 df-6 9053 df-7 9054 df-8 9055 df-9 9056 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-ihash 10868 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-proddc 11716 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-prm 12276 df-phi 12379 df-pc 12454 df-lgs 15239

This theorem is referenced by: lgsquad2lem2 15323

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