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Theorem lgsquad2lem1 15768

Description: Lemma for lgsquad2 15770. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1
lgsquad2.2
lgsquad2.3
lgsquad2.4
lgsquad2.5
lgsquad2lem1.a
lgsquad2lem1.b
lgsquad2lem1.m
lgsquad2lem1.1
lgsquad2lem1.2

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem1

**Proof of Theorem lgsquad2lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16
3	2	nnzd 9576	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	zcnd 9578	. . . . . . . . . . . . . 14
5		ax-1cn 8100	. . . . . . . . . . . . . 14
6		npcan 8363	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9	8	nnzd 9576	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	9	zcnd 9578	. . . . . . . . . . . . . 14
11		npcan 8363	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
12	10, 5, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13
13	7, 12	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . 12
14		peano2zm 9492	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	15	zcnd 9578	. . . . . . . . . . . . . 14
17	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
18		peano2zm 9492	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	9, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	zcnd 9578	. . . . . . . . . . . . . 14
21	16, 17, 20, 17	muladdd 8570	. . . . . . . . . . . . 13
22		1t1e1 9271	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	23	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . 14
25	16	mulridd 8171	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	20	mulridd 8171	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	25, 26	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . . 14
28	24, 27	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . 13
29	21, 28	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12
30	13, 29	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . 11
31	1, 30	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . 10
32	31	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9
33	16, 20	mulcld 8175	. . . . . . . . . . 11
34		addcl 8132	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	33, 5, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . 10
36	16, 20	addcld 8174	. . . . . . . . . 10
37	35, 36, 17	addsubd 8486	. . . . . . . . 9
38		pncan 8360	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	33, 5, 38	sylancl 413	. . . . . . . . . 10
40	39	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9
41	32, 37, 40	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8
42	41	oveq1d 6022	. . . . . . 7
43		2cnd 9191	. . . . . . . 8
44		2ap0 9211	. . . . . . . . 9 #
45	44	a1i 9	. . . . . . . 8 #
46	33, 36, 43, 45	divdirapd 8984	. . . . . . 7
47	16, 20, 43, 45	divassapd 8981	. . . . . . . . 9
48	16, 43, 45	divcanap2d 8947	. . . . . . . . . 10
49	48	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14
51		dvdsmul1 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
52	3, 9, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	52, 1	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		2z 9482	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	55	nnzd 9576	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57		dvdstr 12347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
59	53, 58	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14
60	50, 59	mtod 667	. . . . . . . . . . . . 13
61		1zzd 9481	. . . . . . . . . . . . 13
62		2prm 12657	. . . . . . . . . . . . . 14
63		nprmdvds1 12670	. . . . . . . . . . . . . 14
64	62, 63	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13
65		omoe 12415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12
67		2ne0 9210	. . . . . . . . . . . . . 14
68	67	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13
69		dvdsval2 12309	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70	54, 68, 15, 69	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . 12
71	66, 70	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
72	71	zcnd 9578	. . . . . . . . . 10
73		dvdsmul2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74	3, 9, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74, 1	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		dvdstr 12347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
77	54, 9, 56, 76	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
78	75, 77	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14
79	50, 78	mtod 667	. . . . . . . . . . . . 13
80		omoe 12415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
81	9, 79, 61, 64, 80	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12
82		dvdsval2 12309	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	54, 68, 19, 82	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . 12
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11
85	84	zcnd 9578	. . . . . . . . . 10
86	43, 72, 85	mulassd 8178	. . . . . . . . 9
87	47, 49, 86	3eqtr2d 2268	. . . . . . . 8
88	16, 20, 43, 45	divdirapd 8984	. . . . . . . 8
89	87, 88	oveq12d 6025	. . . . . . 7
90	42, 46, 89	3eqtrd 2266	. . . . . 6
91	90	oveq1d 6022	. . . . 5
92	54	a1i 9	. . . . . . . 8
93	71, 84	zmulcld 9583	. . . . . . . 8
94	92, 93	zmulcld 9583	. . . . . . 7
95	94	zcnd 9578	. . . . . 6
96	71, 84	zaddcld 9581	. . . . . . 7
97	96	zcnd 9578	. . . . . 6
98		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10
99	98	nnzd 9576	. . . . . . . . 9
100		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9
101		omoe 12415	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 100, 61, 64, 101	syl22anc 1272	. . . . . . . 8
103		peano2zm 9492	. . . . . . . . . 10
104	99, 103	syl 14	. . . . . . . . 9
105		dvdsval2 12309	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
106	54, 68, 104, 105	mp3an2i 1376	. . . . . . . 8
107	102, 106	mpbid 147	. . . . . . 7
108	107	zcnd 9578	. . . . . 6
109	95, 97, 108	adddird 8180	. . . . 5
110	93	zcnd 9578	. . . . . . 7
111	43, 110, 108	mulassd 8178	. . . . . 6
112	111	oveq1d 6022	. . . . 5
113	91, 109, 112	3eqtrd 2266	. . . 4
114	113	oveq2d 6023	. . 3
115		neg1cn 9223	. . . . . 6
116	115	a1i 9	. . . . 5
117		neg1ap0 9227	. . . . . 6 #
118	117	a1i 9	. . . . 5 #
119	93, 107	zmulcld 9583	. . . . . 6
120	92, 119	zmulcld 9583	. . . . 5
121	96, 107	zmulcld 9583	. . . . 5
122		expaddzap 10813	. . . . 5 $/\$ # $/\$ $/\$
123	116, 118, 120, 121, 122	syl22anc 1272	. . . 4
124		expmulzap 10815	. . . . . . 7 $/\$ # $/\$ $/\$
125	116, 118, 92, 119, 124	syl22anc 1272	. . . . . 6
126		neg1sqe1 10864	. . . . . . . 8
127	126	oveq1i 6017	. . . . . . 7
128		1exp 10798	. . . . . . . 8
129	119, 128	syl 14	. . . . . . 7
130	127, 129	eqtrid 2274	. . . . . 6
131	125, 130	eqtrd 2262	. . . . 5
132	131	oveq1d 6022	. . . 4
133	123, 132	eqtrd 2262	. . 3
134	116, 118, 121	expclzapd 10908	. . . . 5
135	134	mullidd 8172	. . . 4
136	72, 85, 108	adddird 8180	. . . . 5
137	136	oveq2d 6023	. . . 4
138	135, 137	eqtrd 2262	. . 3
139	114, 133, 138	3eqtrd 2266	. 2
140		lgsquad2lem1.1	. . . 4
141		lgsquad2lem1.2	. . . 4
142	140, 141	oveq12d 6025	. . 3
143	71, 107	zmulcld 9583	. . . 4
144	84, 107	zmulcld 9583	. . . 4
145		expaddzap 10813	. . . 4 $/\$ # $/\$ $/\$
146	116, 118, 143, 144, 145	syl22anc 1272	. . 3
147	142, 146	eqtr4d 2265	. 2
148		lgscl 15701	. . . . . 6 $/\$
149	3, 99, 148	syl2anc 411	. . . . 5
150	149	zcnd 9578	. . . 4
151		lgscl 15701	. . . . . 6 $/\$
152	9, 99, 151	syl2anc 411	. . . . 5
153	152	zcnd 9578	. . . 4
154		lgscl 15701	. . . . . 6 $/\$
155	99, 3, 154	syl2anc 411	. . . . 5
156	155	zcnd 9578	. . . 4
157		lgscl 15701	. . . . . 6 $/\$
158	99, 9, 157	syl2anc 411	. . . . 5
159	158	zcnd 9578	. . . 4
160	150, 153, 156, 159	mul4d 8309	. . 3
161	2	nnne0d 9163	. . . . . 6
162	8	nnne0d 9163	. . . . . 6
163		lgsdir 15722	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	3, 9, 99, 161, 162, 163	syl32anc 1279	. . . . 5
165	1	oveq1d 6022	. . . . 5
166	164, 165	eqtr3d 2264	. . . 4
167		lgsdi 15724	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	99, 3, 9, 161, 162, 167	syl32anc 1279	. . . . 5
169	1	oveq2d 6023	. . . . 5
170	168, 169	eqtr3d 2264	. . . 4
171	166, 170	oveq12d 6025	. . 3
172	160, 171	eqtr3d 2264	. 2
173	139, 147, 172	3eqtr2rd 2269	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400 class class class wbr 4083 (class class class)co 6007

cc 8005

cc0 8007

c1 8008

caddc 8010

cmul 8012

cmin 8325

cneg 8326 # cap 8736

cdiv 8827

cn 9118

c2 9169

cz 9454

cexp 10768

cdvds 12306

cgcd 12482

cprime 12637

clgs 15684

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8098 ax-resscn 8099 ax-1cn 8100 ax-1re 8101 ax-icn 8102 ax-addcl 8103 ax-addrcl 8104 ax-mulcl 8105 ax-mulrcl 8106 ax-addcom 8107 ax-mulcom 8108 ax-addass 8109 ax-mulass 8110 ax-distr 8111 ax-i2m1 8112 ax-0lt1 8113 ax-1rid 8114 ax-0id 8115 ax-rnegex 8116 ax-precex 8117 ax-cnre 8118 ax-pre-ltirr 8119 ax-pre-ltwlin 8120 ax-pre-lttrn 8121 ax-pre-apti 8122 ax-pre-ltadd 8123 ax-pre-mulgt0 8124 ax-pre-mulext 8125 ax-arch 8126 ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-xor 1418 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-irdg 6522 df-frec 6543 df-1o 6568 df-2o 6569 df-oadd 6572 df-er 6688 df-en 6896 df-dom 6897 df-fin 6898 df-sup 7159 df-inf 7160 df-pnf 8191 df-mnf 8192 df-xr 8193 df-ltxr 8194 df-le 8195 df-sub 8327 df-neg 8328 df-reap 8730 df-ap 8737 df-div 8828 df-inn 9119 df-2 9177 df-3 9178 df-4 9179 df-5 9180 df-6 9181 df-7 9182 df-8 9183 df-9 9184 df-n0 9378 df-z 9455 df-uz 9731 df-q 9823 df-rp 9858 df-fz 10213 df-fzo 10347 df-fl 10498 df-mod 10553 df-seqfrec 10678 df-exp 10769 df-ihash 11006 df-cj 11361 df-re 11362 df-im 11363 df-rsqrt 11517 df-abs 11518 df-clim 11798 df-proddc 12070 df-dvds 12307 df-gcd 12483 df-prm 12638 df-phi 12741 df-pc 12816 df-lgs 15685

This theorem is referenced by: lgsquad2lem2 15769

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