Theorem fzoshftral 10181

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a half-open integer range, analogous to fzshftral 10051. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzoshftral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M..^ N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, K, k   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzoshftral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 10091	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
2	1	3ad2ant2 1014	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
3	2	raleqdv 2671	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M..^ N ) ph <-> A. j e. ( M ... ( N - 1 ) ) ph ) )
4		peano2zm 9237	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		fzshftral 10051	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... ( N - 1 ) ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
6	4, 5	syl3an2 1267	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... ( N - 1 ) ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
7		zaddcl 9239	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
8	7	3adant1 1010	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
9		fzoval 10091	. . . . 5 |- ( ( N + K ) e. ZZ -> ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) = ( ( M + K ) ... ( ( N + K ) - 1 ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) = ( ( M + K ) ... ( ( N + K ) - 1 ) ) )
11		zcn 9204	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
12	11	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
13		zcn 9204	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
14	13	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. CC )
15		1cnd 7923	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> 1 e. CC )
16	12, 14, 15	addsubd 8238	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + K ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) + K ) )
17	16	3adant1 1010	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + K ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) + K ) )
18	17	oveq2d 5866	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( ( N + K ) - 1 ) ) = ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) )
19	10, 18	eqtr2d 2204	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) = ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) )
20	19	raleqdv 2671	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
21	3, 6, 20	3bitrd 213	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M..^ N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   [.wsbc 2955  (class class class)co 5850   CCcc 7759   1c1 7762   + caddc 7764   - cmin 8077   ZZcz 9199   ...cfz 9952  ..^cfzo 10085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-fzo 10086

This theorem is referenced by: (None)