ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoshftral Unicode version

Theorem fzoshftral 10027
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a half-open integer range, analogous to fzshftral 9900. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzoshftral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M..^ N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, K, k   
j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzoshftral
StepHypRef Expression
1 fzoval 9937 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
213ad2ant2 1003 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
32raleqdv 2632 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M..^ N ) ph  <->  A. j  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ph ) )
4 peano2zm 9104 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 fzshftral 9900 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... (
( N  -  1 )  +  K ) ) [. ( k  -  K )  / 
j ]. ph ) )
64, 5syl3an2 1250 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( ( N  -  1 )  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
7 zaddcl 9106 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
873adant1 999 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
9 fzoval 9937 . . . . 5  |-  ( ( N  +  K )  e.  ZZ  ->  (
( M  +  K
)..^ ( N  +  K ) )  =  ( ( M  +  K ) ... (
( N  +  K
)  -  1 ) ) )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)..^ ( N  +  K ) )  =  ( ( M  +  K ) ... (
( N  +  K
)  -  1 ) ) )
11 zcn 9071 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
1211adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
13 zcn 9071 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1413adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  CC )
15 1cnd 7794 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
1612, 14, 15addsubd 8106 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  K )  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  +  K ) )
17163adant1 999 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( N  +  K
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  +  K ) )
1817oveq2d 5790 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( ( N  +  K )  - 
1 ) )  =  ( ( M  +  K ) ... (
( N  -  1 )  +  K ) ) )
1910, 18eqtr2d 2173 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( ( N  -  1 )  +  K ) )  =  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K ) ) )
2019raleqdv 2632 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( ( N  -  1 )  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K
) ) [. (
k  -  K )  /  j ]. ph )
)
213, 6, 203bitrd 213 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M..^ N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K )..^ ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   [.wsbc 2909  (class class class)co 5774   CCcc 7630   1c1 7633    + caddc 7635    - cmin 7945   ZZcz 9066   ...cfz 9802  ..^cfzo 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-fzo 9932
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator