Theorem fzoshftral 10314

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a half-open integer range, analogous to fzshftral 10183. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzoshftral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M..^ N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, K, k   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzoshftral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 10223	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
2	1	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
3	2	raleqdv 2699	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M..^ N ) ph <-> A. j e. ( M ... ( N - 1 ) ) ph ) )
4		peano2zm 9364	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		fzshftral 10183	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... ( N - 1 ) ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
6	4, 5	syl3an2 1283	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... ( N - 1 ) ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
7		zaddcl 9366	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
8	7	3adant1 1017	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
9		fzoval 10223	. . . . 5 |- ( ( N + K ) e. ZZ -> ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) = ( ( M + K ) ... ( ( N + K ) - 1 ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) = ( ( M + K ) ... ( ( N + K ) - 1 ) ) )
11		zcn 9331	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
13		zcn 9331	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. CC )
15		1cnd 8042	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> 1 e. CC )
16	12, 14, 15	addsubd 8358	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + K ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) + K ) )
17	16	3adant1 1017	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + K ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) + K ) )
18	17	oveq2d 5938	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( ( N + K ) - 1 ) ) = ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) )
19	10, 18	eqtr2d 2230	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) = ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) )
20	19	raleqdv 2699	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
21	3, 6, 20	3bitrd 214	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M..^ N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   [.wsbc 2989  (class class class)co 5922   CCcc 7877   1c1 7880   + caddc 7882   - cmin 8197   ZZcz 9326   ...cfz 10083  ..^cfzo 10217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by: (None)