Theorem fzoshftral 10547

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a half-open integer range, analogous to fzshftral 10405. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzoshftral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M..^ N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, K, k   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzoshftral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 10445	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
2	1	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
3	2	raleqdv 2737	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M..^ N ) ph <-> A. j e. ( M ... ( N - 1 ) ) ph ) )
4		peano2zm 9578	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		fzshftral 10405	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... ( N - 1 ) ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
6	4, 5	syl3an2 1308	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... ( N - 1 ) ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
7		zaddcl 9580	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
8	7	3adant1 1042	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
9		fzoval 10445	. . . . 5 |- ( ( N + K ) e. ZZ -> ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) = ( ( M + K ) ... ( ( N + K ) - 1 ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) = ( ( M + K ) ... ( ( N + K ) - 1 ) ) )
11		zcn 9545	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
12	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
13		zcn 9545	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. CC )
15		1cnd 8255	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> 1 e. CC )
16	12, 14, 15	addsubd 8570	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + K ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) + K ) )
17	16	3adant1 1042	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + K ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) + K ) )
18	17	oveq2d 6044	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( ( N + K ) - 1 ) ) = ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) )
19	10, 18	eqtr2d 2265	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) = ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) )
20	19	raleqdv 2737	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( ( N - 1 ) + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
21	3, 6, 20	3bitrd 214	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M..^ N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K )..^ ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   [.wsbc 3032  (class class class)co 6028   CCcc 8090   1c1 8093   + caddc 8095   - cmin 8409   ZZcz 9540   ...cfz 10305  ..^cfzo 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  11314