ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ap0gt0 Unicode version

Theorem ap0gt0 8615
Description: A nonnegative number is apart from zero if and only if it is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ap0gt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A #  0  <->  0  <  A ) )

Proof of Theorem ap0gt0
StepHypRef Expression
1 0red 7976 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  e.  RR )
2 reaplt 8563 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A #  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
31, 2syldan 282 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A #  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
4 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  A )
5 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
61, 5lenltd 8093 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
74, 6mpbid 147 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -.  A  <  0
)
8 biorf 745 . . 3  |-  ( -.  A  <  0  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
103, 9bitr4d 191 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A #  0  <->  0  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   RRcr 7828   0cc0 7829    < clt 8010    <_ cle 8011   # cap 8556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557
This theorem is referenced by:  ap0gt0d  8616  fihashneq0  10792  mul0inf  11267
  Copyright terms: Public domain W3C validator