Theorem ap0gt0 8958

Description: A nonnegative number is apart from zero if and only if it is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ap0gt0	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A # 0 <-> 0 < A ) )

Proof of Theorem ap0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8317	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
2		reaplt 8906	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
3	1, 2	syldan 282	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
4		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ A )
5		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
6	1, 5	lenltd 8434	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
7	4, 6	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -. A < 0 )
8		biorf 756	. . 3 |- ( -. A < 0 -> ( 0 < A <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 0 < A <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
10	3, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A # 0 <-> 0 < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   0cc0 8169   < clt 8350   <_ cle 8351   # cap 8899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900

This theorem is referenced by:  ap0gt0d  8959  fihashneq0  11211  mul0inf  11985