Theorem fihashneq0 11028

Description: Two ways of saying a finite set is not empty. Also, "A is inhabited" would be equivalent by fin0 7055. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashneq0	|- ( A e. Fin -> ( 0 < (♯ ` A ) <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem fihashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 11015	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9578	. . 3 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. ZZ )
3		0zd 9469	. . 3 |- ( A e. Fin -> 0 e. ZZ )
4		zapne 9532	. . 3 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> (♯ ` A ) =/= 0 ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> (♯ ` A ) =/= 0 ) )
6		nn0re 9389	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> (♯ ` A ) e. RR )
7		nn0ge0 9405	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> 0 <_ (♯ ` A ) )
8		ap0gt0 8798	. . . 4 |- ( ( (♯ ` A ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` A ) ) -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> 0 < (♯ ` A ) ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> 0 < (♯ ` A ) ) )
10	1, 9	syl 14	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> 0 < (♯ ` A ) ) )
11		fihasheq0 11027	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
12	11	necon3bid 2441	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
13	5, 10, 12	3bitr3d 218	1 |- ( A e. Fin -> ( 0 < (♯ ` A ) <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3491   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   Fincfn 6895   RRcr 8009   0cc0 8010   < clt 8192   <_ cle 8193   # cap 8739   NN0cn0 9380   ZZcz 9457  ♯chash 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-ihash 11010

This theorem is referenced by:  wrdlenge1n0  11118  swrdlsw  11217  pfxsuff1eqwrdeq  11247  ccats1pfxeq  11262  ccats1pfxeqrex  11263  clwwlkext2edg  16164