ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashneq0 Unicode version

Theorem fihashneq0 10572
Description: Two ways of saying a finite set is not empty. Also, "A is inhabited" would be equivalent by fin0 6786. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashneq0  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
0  <  ( `  A
)  <->  A  =/=  (/) ) )

Proof of Theorem fihashneq0
StepHypRef Expression
1 hashcl 10558 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
21nn0zd 9194 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
3 0zd 9089 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  0  e.  ZZ )
4 zapne 9148 . . 3  |-  ( ( ( `  A )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( `  A ) #  0  <-> 
( `  A )  =/=  0 ) )
52, 3, 4syl2anc 409 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A ) #  0  <-> 
( `  A )  =/=  0 ) )
6 nn0re 9009 . . . 4  |-  ( ( `  A )  e.  NN0  ->  ( `  A )  e.  RR )
7 nn0ge0 9025 . . . 4  |-  ( ( `  A )  e.  NN0  ->  0  <_  ( `  A
) )
8 ap0gt0 8425 . . . 4  |-  ( ( ( `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( `  A ) )  ->  ( ( `  A
) #  0  <->  0  <  ( `  A ) ) )
96, 7, 8syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( `  A )  e.  NN0  ->  ( ( `  A
) #  0  <->  0  <  ( `  A ) ) )
101, 9syl 14 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A ) #  0  <->  0  <  ( `  A
) ) )
11 fihasheq0 10571 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
1211necon3bid 2350 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  (/) ) )
135, 10, 123bitr3d 217 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
0  <  ( `  A
)  <->  A  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    e. wcel 1481    =/= wne 2309   (/)c0 3367   class class class wbr 3936   ` cfv 5130   Fincfn 6641   RRcr 7642   0cc0 7643    < clt 7823    <_ cle 7824   # cap 8366   NN0cn0 9000   ZZcz 9077  ♯chash 10552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-recs 6209  df-frec 6295  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-ihash 10553
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator