Theorem fihashneq0 10776

Description: Two ways of saying a finite set is not empty. Also, "A is inhabited" would be equivalent by fin0 6887. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashneq0	|- ( A e. Fin -> ( 0 < (♯ ` A ) <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem fihashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10763	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9375	. . 3 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. ZZ )
3		0zd 9267	. . 3 |- ( A e. Fin -> 0 e. ZZ )
4		zapne 9329	. . 3 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> (♯ ` A ) =/= 0 ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> (♯ ` A ) =/= 0 ) )
6		nn0re 9187	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> (♯ ` A ) e. RR )
7		nn0ge0 9203	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> 0 <_ (♯ ` A ) )
8		ap0gt0 8599	. . . 4 |- ( ( (♯ ` A ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` A ) ) -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> 0 < (♯ ` A ) ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> 0 < (♯ ` A ) ) )
10	1, 9	syl 14	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) # 0 <-> 0 < (♯ ` A ) ) )
11		fihasheq0 10775	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
12	11	necon3bid 2388	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
13	5, 10, 12	3bitr3d 218	1 |- ( A e. Fin -> ( 0 < (♯ ` A ) <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   =/= wne 2347   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   ` cfv 5218   Fincfn 6742   RRcr 7812   0cc0 7813   < clt 7994   <_ cle 7995   # cap 8540   NN0cn0 9178   ZZcz 9255  ♯chash 10757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-ihash 10758

This theorem is referenced by: (None)