Theorem apsub1 8630

Description: Subtraction respects apartness. Analogue of subcan2 8213 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
apsub1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A # B <-> ( A - C ) # ( B - C ) ) )

Proof of Theorem apsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8188	. . 3 |- ( C e. CC -> -u C e. CC )
2		apadd1 8596	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ -u C e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u C ) # ( B + -u C ) ) )
3	1, 2	syl3an3 1284	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u C ) # ( B + -u C ) ) )
4		simp1 999	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A e. CC )
5		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> C e. CC )
6	4, 5	negsubd 8305	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + -u C ) = ( A - C ) )
7		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> B e. CC )
8	7, 5	negsubd 8305	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + -u C ) = ( B - C ) )
9	6, 8	breq12d 4031	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + -u C ) # ( B + -u C ) <-> ( A - C ) # ( B - C ) ) )
10	3, 9	bitrd 188	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A # B <-> ( A - C ) # ( B - C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   + caddc 7845   - cmin 8159   -ucneg 8160   # cap 8569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570

This theorem is referenced by:  eirraplem  11819