Theorem apsub1 8269

Description: Subtraction respects apartness. Analogue of subcan2 7858 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
apsub1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A # B <-> ( A - C ) # ( B - C ) ) )

Proof of Theorem apsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 7833	. . 3 |- ( C e. CC -> -u C e. CC )
2		apadd1 8236	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ -u C e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u C ) # ( B + -u C ) ) )
3	1, 2	syl3an3 1219	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u C ) # ( B + -u C ) ) )
4		simp1 949	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A e. CC )
5		simp3 951	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> C e. CC )
6	4, 5	negsubd 7950	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + -u C ) = ( A - C ) )
7		simp2 950	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> B e. CC )
8	7, 5	negsubd 7950	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + -u C ) = ( B - C ) )
9	6, 8	breq12d 3888	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + -u C ) # ( B + -u C ) <-> ( A - C ) # ( B - C ) ) )
10	3, 9	bitrd 187	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A # B <-> ( A - C ) # ( B - C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 930   e. wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   CCcc 7498   + caddc 7503   - cmin 7804   -ucneg 7805   # cap 8209

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-ltxr 7677  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210

This theorem is referenced by:  eirraplem  11278