Theorem subap0 8662

Description: Two numbers being apart is equivalent to their difference being apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
subap0	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )

Proof of Theorem subap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8219	. . . 4 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u B e. CC )
3		apadd1 8627	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
4	2, 3	mpd3an3 1349	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
5		negsub 8267	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
7	6	negidd 8320	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + -u B ) = 0 )
8	5, 7	breq12d 4042	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + -u B ) # ( B + -u B ) <-> ( A - B ) # 0 ) )
9	4, 8	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   + caddc 7875   - cmin 8190   -ucneg 8191   # cap 8600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601

This theorem is referenced by:  subap0d  8663  tanaddaplem  11881  cnopnap  14765  reap0  15548  neap0mkv  15559