Theorem subap0 8429

Description: Two numbers being apart is equivalent to their difference being apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
subap0	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )

Proof of Theorem subap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 7986	. . . 4 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u B e. CC )
3		apadd1 8394	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
4	2, 3	mpd3an3 1317	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
5		negsub 8034	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
6		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
7	6	negidd 8087	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + -u B ) = 0 )
8	5, 7	breq12d 3950	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + -u B ) # ( B + -u B ) <-> ( A - B ) # 0 ) )
9	4, 8	bitr2d 188	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   + caddc 7647   - cmin 7957   -ucneg 7958   # cap 8367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368

This theorem is referenced by:  tanaddaplem  11481  cnopnap  12802