ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subap0 Unicode version

Theorem subap0 8618
Description: Two numbers being apart is equivalent to their difference being apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
subap0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B ) #  0  <->  A #  B
) )

Proof of Theorem subap0
StepHypRef Expression
1 negcl 8175 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
21adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u B  e.  CC )
3 apadd1 8583 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( A #  B  <->  ( A  +  -u B ) #  ( B  +  -u B ) ) )
42, 3mpd3an3 1349 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A #  B  <->  ( A  +  -u B ) #  ( B  +  -u B
) ) )
5 negsub 8223 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
6 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
76negidd 8276 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  -u B )  =  0 )
85, 7breq12d 4031 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  -u B ) #  ( B  +  -u B )  <->  ( A  -  B ) #  0 ) )
94, 8bitr2d 189 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B ) #  0  <->  A #  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   CCcc 7827   0cc0 7829    + caddc 7832    - cmin 8146   -ucneg 8147   # cap 8556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557
This theorem is referenced by:  subap0d  8619  tanaddaplem  11764  cnopnap  14491  reap0  15204  neap0mkv  15215
  Copyright terms: Public domain W3C validator