Theorem subap0 8751

Description: Two numbers being apart is equivalent to their difference being apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
subap0	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )

Proof of Theorem subap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8307	. . . 4 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u B e. CC )
3		apadd1 8716	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
4	2, 3	mpd3an3 1351	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
5		negsub 8355	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
7	6	negidd 8408	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + -u B ) = 0 )
8	5, 7	breq12d 4072	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + -u B ) # ( B + -u B ) <-> ( A - B ) # 0 ) )
9	4, 8	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   + caddc 7963   - cmin 8278   -ucneg 8279   # cap 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690

This theorem is referenced by:  subap0d  8752  tanaddaplem  12164  cnopnap  15198  mersenne  15584  reap0  16199  neap0mkv  16210