Theorem subap0 8215

Description: Two numbers being apart is equivalent to their difference being apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
subap0	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )

Proof of Theorem subap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 7779	. . . 4 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2	1	adantl 272	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u B e. CC )
3		apadd1 8182	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
4	2, 3	mpd3an3 1281	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
5		negsub 7827	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
6		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
7	6	negidd 7880	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + -u B ) = 0 )
8	5, 7	breq12d 3880	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + -u B ) # ( B + -u B ) <-> ( A - B ) # 0 ) )
9	4, 8	bitr2d 188	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   CCcc 7445   0cc0 7447   + caddc 7450   - cmin 7750   -ucneg 7751   # cap 8155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156

This theorem is referenced by:  tanaddaplem  11194