Theorem ballotfilemcinfz 13285

Description: Lemma for ballotfi . The portion of a counting representing votes for A within a specified integer range is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilemc.c	|- ( ph -> C e. O )
ballotfilemc.j	|- ( ph -> J e. ZZ )
ballotfilemc.k	|- ( ph -> K e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemcinfz	|- ( ph -> ( ( J ... K ) i^i C ) e. Fin )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c

Allowed substitution hints:   ph( c)   C( c)   J( c)   K( c)

Proof of Theorem ballotfilemcinfz

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotfilemc.j	. . 3 |- ( ph -> J e. ZZ )
2		ballotfilemc.k	. . 3 |- ( ph -> K e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10890	. 2 |- ( ph -> ( J ... K ) e. Fin )
4		ballotth.m	. . . 4 |- M e. NN
5		ballotth.n	. . . 4 |- N e. NN
6		ballotfilem.o	. . . 4 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
7		ballotfilemc.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. O )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( J ... K ) ) -> C e. O )
9		elfzelz 10446	. . . . 5 |- ( x e. ( J ... K ) -> x e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( J ... K ) ) -> x e. ZZ )
11	4, 5, 6, 8, 10	ballotfilemcdc 13282	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( J ... K ) ) -> DECID x e. C )
12	11	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( J ... K )DECID x e. C )
13		infidc 7253	. 2 |- ( ( ( J ... K ) e. Fin /\ A. x e. ( J ... K )DECID x e. C ) -> ( ( J ... K ) i^i C ) e. Fin )
14	3, 12, 13	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( ( J ... K ) i^i C ) e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   i^i cin 3219   ~Pcpw 3688   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7027   1c1 8187   + caddc 8189   NNcn 9314   ZZcz 9656   ...cfz 10429  ♯chash 11237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430

This theorem is used by:  ballotfilemgval  13326  ballotfilemgun  13327