Theorem fzfigd 10578

Description: Deduction form of fzfig 10577. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10577	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   Fincfn 6829   ZZcz 9374   ...cfz 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-1o 6504  df-er 6622  df-en 6830  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10653  iseqf1olemjpcl  10655  iseqf1olemqpcl  10656  iseqf1olemfvp  10657  seq3f1olemqsum  10660  seq3f1olemstep  10661  seq3f1olemp  10662  seqf1oglem2  10667  seqf1og  10668  fseq1hash  10948  hashfz  10968  fnfz0hash  10979  nnf1o  11720  summodclem2a  11725  summodclem2  11726  summodc  11727  zsumdc  11728  fsum3  11731  fisumss  11736  fsumm1  11760  fsum1p  11762  fisum0diag  11785  fsumrev  11787  fsumshft  11788  fisum0diag2  11791  iserabs  11819  binomlem  11827  binom1dif  11831  isumsplit  11835  arisum2  11843  pwm1geoserap1  11852  geo2sum  11858  cvgratnnlemabsle  11871  cvgratnnlemrate  11874  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  mertenslem2  11880  mertensabs  11881  prodmodclem3  11919  prodmodclem2a  11920  prodmodclem2  11921  zproddc  11923  fprodseq  11927  fprodssdc  11934  fprodm1  11942  fprod1p  11943  fprodabs  11960  fprodeq0  11961  fprodshft  11962  fprodrev  11963  fprod0diagfz  11972  efcvgfsum  12011  efaddlem  12018  eirraplem  12121  3dvds  12208  prmdc  12485  phivalfi  12567  phicl2  12569  hashdvds  12576  phiprmpw  12577  eulerthlemrprm  12584  eulerthlema  12585  eulerthlemh  12586  eulerthlemth  12587  eulerth  12588  dvdsfi  12594  pcfac  12706  pcbc  12707  1arith  12723  4sqlem11  12757  gsumfzval  13256  gsumval2  13262  gsumsplit1r  13263  gsumfzz  13360  gsumfzcl  13364  mulgnngsum  13496  gsumfzreidx  13706  gsumfzsubmcl  13707  gsumfzmptfidmadd  13708  gsumfzmptfidmadd2  13709  gsumfzconst  13710  gsumfzmhm  13712  gsumfzfsumlemm  14382  plyf  15242  ply1termlem  15247  plyaddlem1  15252  plymullem1  15253  plymullem  15255  plycoeid3  15262  plycolemc  15263  plycjlemc  15265  plycn  15267  plyrecj  15268  dvply1  15270  sgmppw  15497  0sgmppw  15498  mersenne  15502  gausslemma2dlem1  15571  gausslemma2dlem4  15574  gausslemma2dlem5a  15575  gausslemma2dlem5  15576  gausslemma2dlem6  15577  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem3  15582  lgseisenlem4  15583  lgseisen  15584  lgsquadlemsfi  15585  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  lgsquadlem3  15589  2lgslem1  15601  cvgcmp2nlemabs  16008  trilpolemlt1  16017  nconstwlpolemgt0  16040