Theorem fzfigd 10399

Description: Deduction form of fzfig 10398. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10398	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2146  (class class class)co 5865   Fincfn 6730   ZZcz 9224   ...cfz 9977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10461  iseqf1olemjpcl  10463  iseqf1olemqpcl  10464  iseqf1olemfvp  10465  seq3f1olemqsum  10468  seq3f1olemstep  10469  seq3f1olemp  10470  fseq1hash  10747  hashfz  10767  fnfz0hash  10778  nnf1o  11350  summodclem2a  11355  summodclem2  11356  summodc  11357  zsumdc  11358  fsum3  11361  fisumss  11366  fsumm1  11390  fsum1p  11392  fisum0diag  11415  fsumrev  11417  fsumshft  11418  fisum0diag2  11421  iserabs  11449  binomlem  11457  binom1dif  11461  isumsplit  11465  arisum2  11473  pwm1geoserap1  11482  geo2sum  11488  cvgratnnlemabsle  11501  cvgratnnlemrate  11504  mertenslemub  11508  mertenslemi1  11509  mertenslem2  11510  mertensabs  11511  prodmodclem3  11549  prodmodclem2a  11550  prodmodclem2  11551  zproddc  11553  fprodseq  11557  fprodssdc  11564  fprodm1  11572  fprod1p  11573  fprodabs  11590  fprodeq0  11591  fprodshft  11592  fprodrev  11593  fprod0diagfz  11602  efcvgfsum  11641  efaddlem  11648  eirraplem  11750  prmdc  12095  phivalfi  12177  phicl2  12179  hashdvds  12186  phiprmpw  12187  eulerthlemrprm  12194  eulerthlema  12195  eulerthlemh  12196  eulerthlemth  12197  eulerth  12198  phisum  12205  pcfac  12313  pcbc  12314  1arith  12330  cvgcmp2nlemabs  14339  trilpolemlt1  14348  nconstwlpolemgt0  14370