Theorem fzfigd 10851

Description: Deduction form of fzfig 10850. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10850	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6079   Fincfn 7016   ZZcz 9627   ...cfz 10394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is used by:  iseqf1olemqf1o  10926  iseqf1olemjpcl  10928  iseqf1olemqpcl  10929  iseqf1olemfvp  10930  seq3f1olemqsum  10933  seq3f1olemstep  10934  seq3f1olemp  10935  seqf1oglem2  10940  seqf1og  10941  fseq1hash  11224  hashfz  11245  fnfz0hash  11258  sseqn  11262  nnf1o  12126  summodclem2a  12131  summodclem2  12132  summodc  12133  zsumdc  12134  fsum3  12137  fisumss  12142  fsumm1  12166  fsum1p  12168  fisum0diag  12191  fsumrev  12193  fsumshft  12194  fisum0diag2  12197  iserabs  12225  binomlem  12233  binom1dif  12237  isumsplit  12241  arisum2  12249  pwm1geoserap1  12258  geo2sum  12264  cvgratnnlemabsle  12277  cvgratnnlemrate  12280  mertenslemub  12284  mertenslemi1  12285  mertenslem2  12286  mertensabs  12287  prodmodclem3  12325  prodmodclem2a  12326  prodmodclem2  12327  zproddc  12329  fprodseq  12333  fprodssdc  12340  fprodm1  12348  fprod1p  12349  fprodabs  12366  fprodeq0  12367  fprodshft  12368  fprodrev  12369  fprod0diagfz  12378  efcvgfsum  12417  efaddlem  12424  eirraplem  12527  3dvds  12614  prmdc  12891  phivalfi  12973  phicl2  12975  hashdvds  12982  phiprmpw  12983  eulerthlemrprm  12990  eulerthlema  12991  eulerthlemh  12992  eulerthlemth  12993  eulerth  12994  dvdsfi  13000  pcfac  13112  pcbc  13113  1arith  13129  4sqlem11  13163  ballotfilemcinfi  13207  ballotfilemdifcfi  13208  ballotfilemcinfz  13209  ballotfilemdifcfz  13210  ballotfilemfc0  13215  ballotfilemfcc  13216  ballotfilemgval  13250  gzsumfzval  13694  gzsumval2  13697  gzsumsplit1r  13698  gzsumcl  13787  mulgnngzsum  13913  gzsumreidx  14124  gzsumsubmcl  14125  gzsumconst  14126  gzsummhm  14128  gzsumshift  14132  gsumvalfi  14135  gzsumgsum1  14136  gzsumgsum  14138  gsumressfi  14150  plyf  15821  ply1termlem  15826  plyaddlem1  15831  plymullem1  15832  plymullem  15834  plycoeid3  15841  plycolemc  15842  plycjlemc  15844  plycn  15846  plyrecj  15847  dvply1  15849  log2tlbndlog2  16065  log2ublem2  16067  log2ublog2  16069  birthdaylem1g  16070  birthdaylem2  16071  birthdaylem3  16072  sgmppw  16089  0sgmppw  16090  mersenne  16094  gausslemma2dlem1  16163  gausslemma2dlem4  16166  gausslemma2dlem5a  16167  gausslemma2dlem5  16168  gausslemma2dlem6  16169  lgseisenlem2  16173  lgseisenlem3  16174  lgseisenlem4  16175  lgseisen  16176  lgsquadlemsfi  16177  lgsquadlem1  16179  lgsquadlem2  16180  lgsquadlem3  16181  2lgslem1  16193  wksfval  16546  wlkex  16549  iswlkg  16553  cvgcmp2nlemabs  17056  trilpolemlt1  17065  nconstwlpolemgt0  17089