Theorem fzfigd 10653

Description: Deduction form of fzfig 10652. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10652	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   ZZcz 9446   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10728  iseqf1olemjpcl  10730  iseqf1olemqpcl  10731  iseqf1olemfvp  10732  seq3f1olemqsum  10735  seq3f1olemstep  10736  seq3f1olemp  10737  seqf1oglem2  10742  seqf1og  10743  fseq1hash  11023  hashfz  11043  fnfz0hash  11054  nnf1o  11887  summodclem2a  11892  summodclem2  11893  summodc  11894  zsumdc  11895  fsum3  11898  fisumss  11903  fsumm1  11927  fsum1p  11929  fisum0diag  11952  fsumrev  11954  fsumshft  11955  fisum0diag2  11958  iserabs  11986  binomlem  11994  binom1dif  11998  isumsplit  12002  arisum2  12010  pwm1geoserap1  12019  geo2sum  12025  cvgratnnlemabsle  12038  cvgratnnlemrate  12041  mertenslemub  12045  mertenslemi1  12046  mertenslem2  12047  mertensabs  12048  prodmodclem3  12086  prodmodclem2a  12087  prodmodclem2  12088  zproddc  12090  fprodseq  12094  fprodssdc  12101  fprodm1  12109  fprod1p  12110  fprodabs  12127  fprodeq0  12128  fprodshft  12129  fprodrev  12130  fprod0diagfz  12139  efcvgfsum  12178  efaddlem  12185  eirraplem  12288  3dvds  12375  prmdc  12652  phivalfi  12734  phicl2  12736  hashdvds  12743  phiprmpw  12744  eulerthlemrprm  12751  eulerthlema  12752  eulerthlemh  12753  eulerthlemth  12754  eulerth  12755  dvdsfi  12761  pcfac  12873  pcbc  12874  1arith  12890  4sqlem11  12924  gsumfzval  13424  gsumval2  13430  gsumsplit1r  13431  gsumfzz  13528  gsumfzcl  13532  mulgnngsum  13664  gsumfzreidx  13874  gsumfzsubmcl  13875  gsumfzmptfidmadd  13876  gsumfzmptfidmadd2  13877  gsumfzconst  13878  gsumfzmhm  13880  gsumfzfsumlemm  14551  plyf  15411  ply1termlem  15416  plyaddlem1  15421  plymullem1  15422  plymullem  15424  plycoeid3  15431  plycolemc  15432  plycjlemc  15434  plycn  15436  plyrecj  15437  dvply1  15439  sgmppw  15666  0sgmppw  15667  mersenne  15671  gausslemma2dlem1  15740  gausslemma2dlem4  15743  gausslemma2dlem5a  15744  gausslemma2dlem5  15745  gausslemma2dlem6  15746  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgseisenlem4  15752  lgseisen  15753  lgsquadlemsfi  15754  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  lgsquadlem3  15758  2lgslem1  15770  wksfval  16035  iswlkg  16041  cvgcmp2nlemabs  16400  trilpolemlt1  16409  nconstwlpolemgt0  16432