Theorem fzfigd 10868

Description: Deduction form of fzfig 10867. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10867	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   ZZcz 9644   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  iseqf1olemqf1o  10943  iseqf1olemjpcl  10945  iseqf1olemqpcl  10946  iseqf1olemfvp  10947  seq3f1olemqsum  10950  seq3f1olemstep  10951  seq3f1olemp  10952  seqf1oglem2  10957  seqf1og  10958  fseq1hash  11241  hashfz  11262  fnfz0hash  11275  sseqn  11279  nnf1o  12143  summodclem2a  12148  summodclem2  12149  summodc  12150  zsumdc  12151  fsum3  12154  fisumss  12159  fsumm1  12183  fsum1p  12185  fisum0diag  12208  fsumrev  12210  fsumshft  12211  fisum0diag2  12214  iserabs  12242  binomlem  12250  binom1dif  12254  isumsplit  12258  arisum2  12266  pwm1geoserap1  12275  geo2sum  12281  cvgratnnlemabsle  12294  cvgratnnlemrate  12297  mertenslemub  12301  mertenslemi1  12302  mertenslem2  12303  mertensabs  12304  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  prodmodclem2  12344  zproddc  12346  fprodseq  12350  fprodssdc  12357  fprodm1  12365  fprod1p  12366  fprodabs  12383  fprodeq0  12384  fprodshft  12385  fprodrev  12386  fprod0diagfz  12395  efcvgfsum  12434  efaddlem  12441  eirraplem  12544  3dvds  12631  prmdc  12908  phivalfi  12990  phicl2  12992  hashdvds  12999  phiprmpw  13000  eulerthlemrprm  13007  eulerthlema  13008  eulerthlemh  13009  eulerthlemth  13010  eulerth  13011  dvdsfi  13017  pcfac  13129  pcbc  13130  1arith  13146  4sqlem11  13180  ballotfilemcinfi  13224  ballotfilemdifcfi  13225  ballotfilemcinfz  13226  ballotfilemdifcfz  13227  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  ballotfilemgval  13267  gzsumfzval  13711  gzsumval2  13714  gzsumsplit1r  13715  gzsumcl  13804  mulgnngzsum  13930  gzsumreidx  14141  gzsumsubmcl  14142  gzsumconst  14143  gzsummhm  14145  gzsumshift  14149  gsumvalfi  14152  gzsumgsum1  14153  gzsumgsum  14155  gsumressfi  14167  plyf  15838  ply1termlem  15843  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  plymullem  15851  plycoeid3  15858  plycolemc  15859  plycjlemc  15861  plycn  15863  plyrecj  15864  dvply1  15866  log2tlbndlog2  16082  log2ublem2  16084  log2ublog2  16086  birthdaylem1g  16087  birthdaylem2  16088  birthdaylem3  16089  sgmppw  16106  0sgmppw  16107  mersenne  16111  gausslemma2dlem1  16180  gausslemma2dlem4  16183  gausslemma2dlem5a  16184  gausslemma2dlem5  16185  gausslemma2dlem6  16186  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192  lgseisen  16193  lgsquadlemsfi  16194  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  2lgslem1  16210  wksfval  16563  wlkex  16566  iswlkg  16570  cvgcmp2nlemabs  17081  trilpolemlt1  17090  nconstwlpolemgt0  17114