Theorem fzfigd 10523

Description: Deduction form of fzfig 10522. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10522	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   ZZcz 9326   ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10598  iseqf1olemjpcl  10600  iseqf1olemqpcl  10601  iseqf1olemfvp  10602  seq3f1olemqsum  10605  seq3f1olemstep  10606  seq3f1olemp  10607  seqf1oglem2  10612  seqf1og  10613  fseq1hash  10893  hashfz  10913  fnfz0hash  10924  nnf1o  11541  summodclem2a  11546  summodclem2  11547  summodc  11548  zsumdc  11549  fsum3  11552  fisumss  11557  fsumm1  11581  fsum1p  11583  fisum0diag  11606  fsumrev  11608  fsumshft  11609  fisum0diag2  11612  iserabs  11640  binomlem  11648  binom1dif  11652  isumsplit  11656  arisum2  11664  pwm1geoserap1  11673  geo2sum  11679  cvgratnnlemabsle  11692  cvgratnnlemrate  11695  mertenslemub  11699  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  mertensabs  11702  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  prodmodclem2  11742  zproddc  11744  fprodseq  11748  fprodssdc  11755  fprodm1  11763  fprod1p  11764  fprodabs  11781  fprodeq0  11782  fprodshft  11783  fprodrev  11784  fprod0diagfz  11793  efcvgfsum  11832  efaddlem  11839  eirraplem  11942  3dvds  12029  prmdc  12298  phivalfi  12380  phicl2  12382  hashdvds  12389  phiprmpw  12390  eulerthlemrprm  12397  eulerthlema  12398  eulerthlemh  12399  eulerthlemth  12400  eulerth  12401  dvdsfi  12407  pcfac  12519  pcbc  12520  1arith  12536  4sqlem11  12570  gsumfzval  13034  gsumval2  13040  gsumsplit1r  13041  gsumfzz  13127  gsumfzcl  13131  mulgnngsum  13257  gsumfzreidx  13467  gsumfzsubmcl  13468  gsumfzmptfidmadd  13469  gsumfzmptfidmadd2  13470  gsumfzconst  13471  gsumfzmhm  13473  gsumfzfsumlemm  14143  plyf  14973  ply1termlem  14978  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  plymullem  14986  plycoeid3  14993  plycolemc  14994  plycjlemc  14996  plycn  14998  plyrecj  14999  dvply1  15001  sgmppw  15228  0sgmppw  15229  mersenne  15233  gausslemma2dlem1  15302  gausslemma2dlem4  15305  gausslemma2dlem5a  15306  gausslemma2dlem5  15307  gausslemma2dlem6  15308  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem3  15313  lgseisenlem4  15314  lgseisen  15315  lgsquadlemsfi  15316  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  lgsquadlem3  15320  2lgslem1  15332  cvgcmp2nlemabs  15676  trilpolemlt1  15685  nconstwlpolemgt0  15708