Theorem fzfigd 10756

Description: Deduction form of fzfig 10755. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10755	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   ZZcz 9540   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10831  iseqf1olemjpcl  10833  iseqf1olemqpcl  10834  iseqf1olemfvp  10835  seq3f1olemqsum  10838  seq3f1olemstep  10839  seq3f1olemp  10840  seqf1oglem2  10845  seqf1og  10846  fseq1hash  11127  hashfz  11148  fnfz0hash  11159  nnf1o  12017  summodclem2a  12022  summodclem2  12023  summodc  12024  zsumdc  12025  fsum3  12028  fisumss  12033  fsumm1  12057  fsum1p  12059  fisum0diag  12082  fsumrev  12084  fsumshft  12085  fisum0diag2  12088  iserabs  12116  binomlem  12124  binom1dif  12128  isumsplit  12132  arisum2  12140  pwm1geoserap1  12149  geo2sum  12155  cvgratnnlemabsle  12168  cvgratnnlemrate  12171  mertenslemub  12175  mertenslemi1  12176  mertenslem2  12177  mertensabs  12178  prodmodclem3  12216  prodmodclem2a  12217  prodmodclem2  12218  zproddc  12220  fprodseq  12224  fprodssdc  12231  fprodm1  12239  fprod1p  12240  fprodabs  12257  fprodeq0  12258  fprodshft  12259  fprodrev  12260  fprod0diagfz  12269  efcvgfsum  12308  efaddlem  12315  eirraplem  12418  3dvds  12505  prmdc  12782  phivalfi  12864  phicl2  12866  hashdvds  12873  phiprmpw  12874  eulerthlemrprm  12881  eulerthlema  12882  eulerthlemh  12883  eulerthlemth  12884  eulerth  12885  dvdsfi  12891  pcfac  13003  pcbc  13004  1arith  13020  4sqlem11  13054  gsumfzval  13554  gsumval2  13560  gsumsplit1r  13561  gsumfzz  13658  gsumfzcl  13662  mulgnngsum  13794  gsumfzreidx  14004  gsumfzsubmcl  14005  gsumfzmptfidmadd  14006  gsumfzmptfidmadd2  14007  gsumfzconst  14008  gsumfzmhm  14010  gsumfzfsumlemm  14683  plyf  15548  ply1termlem  15553  plyaddlem1  15558  plymullem1  15559  plymullem  15561  plycoeid3  15568  plycolemc  15569  plycjlemc  15571  plycn  15573  plyrecj  15574  dvply1  15576  sgmppw  15806  0sgmppw  15807  mersenne  15811  gausslemma2dlem1  15880  gausslemma2dlem4  15883  gausslemma2dlem5a  15884  gausslemma2dlem5  15885  gausslemma2dlem6  15886  lgseisenlem2  15890  lgseisenlem3  15891  lgseisenlem4  15892  lgseisen  15893  lgsquadlemsfi  15894  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  lgsquadlem3  15898  2lgslem1  15910  wksfval  16263  wlkex  16266  iswlkg  16270  cvgcmp2nlemabs  16764  trilpolemlt1  16773  nconstwlpolemgt0  16797  gfsumval  16809  gsumgfsum1  16810  gsumgfsumlem  16812  gsumgfsum  16813