Theorem fzfigd 10888

Description: Deduction form of fzfig 10887. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10887	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   Fincfn 7028   ZZcz 9653   ...cfz 10427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-1o 6692  df-er 6812  df-en 7029  df-fin 7031  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428

This theorem is used by:  iseqf1olemqf1o  10963  iseqf1olemjpcl  10965  iseqf1olemqpcl  10966  iseqf1olemfvp  10967  seq3f1olemqsum  10970  seq3f1olemstep  10971  seq3f1olemp  10972  seqf1oglem2  10977  seqf1og  10978  fseq1hash  11262  hashfz  11283  fnfz0hash  11296  sseqn  11300  nnf1o  12167  summodclem2a  12172  summodclem2  12173  summodc  12174  zsumdc  12175  fsum3  12178  fisumss  12183  fsumm1  12207  fsum1p  12209  fisum0diag  12232  fsumrev  12234  fsumshft  12235  fisum0diag2  12238  iserabs  12266  binomlem  12274  binom1dif  12278  isumsplit  12282  arisum2  12290  pwm1geoserap1  12299  geo2sum  12305  cvgratnnlemabsle  12318  cvgratnnlemrate  12321  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  mertensabs  12328  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  prodmodclem2  12368  zproddc  12370  fprodseq  12374  fprodssdc  12381  fprodm1  12389  fprod1p  12390  fprodabs  12407  fprodeq0  12408  fprodshft  12409  fprodrev  12410  fprod0diagfz  12419  efcvgfsum  12458  efaddlem  12465  eirraplem  12568  3dvds  12655  prmdc  12932  phivalfi  13018  phicl2  13020  hashdvds  13027  phiprmpw  13028  eulerthlemrprm  13035  eulerthlema  13036  eulerthlemh  13037  eulerthlemth  13038  eulerth  13039  dvdsfi  13045  pcfac  13157  pcbc  13158  1arith  13174  4sqlem11  13208  ballotfilemcinfi  13281  ballotfilemdifcfi  13282  ballotfilemcinfz  13283  ballotfilemdifcfz  13284  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemgval  13324  gzsumfzval  13769  gzsumval2  13772  gzsumsplit1r  13773  gzsumcl  13862  mulgnngzsum  13988  gzsumreidx  14230  gzsumsubmcl  14231  gzsumconst  14232  gzsummhm  14234  gzsumshift  14238  gsumvalfi  14241  gzsumgsum1  14242  gzsumgsum  14244  gsumressfi  14266  psrbaglefifi  15175  plyf  15980  ply1termlem  15985  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  plymullem  15993  plycoeid3  16000  plycolemc  16001  plycjlemc  16003  plycn  16005  plyrecj  16006  dvply1  16008  log2tlbndlog2  16237  log2ublem2  16239  log2ublog2  16241  birthdaylem1g  16242  birthdaylem2  16243  birthdaylem3  16244  ppiqfi  16259  prmdvdsfi  16260  ppiprm  16276  chtprm  16278  chtdif  16281  efchtqdvds  16282  ppidif  16286  prmorcht  16299  sgmppw  16303  0sgmppw  16304  ppiqub  16310  chtublem  16312  mersenne  16314  bposlem1  16328  bposlem2  16329  gausslemma2dlem1  16402  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem5  16407  gausslemma2dlem6  16408  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlemsfi  16416  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  2lgslem1  16432  wksfval  16785  wlkex  16788  iswlkg  16792  cvgcmp2nlemabs  17304  trilpolemlt1  17314  nconstwlpolemgt0  17338