Theorem fzfigd 10613

Description: Deduction form of fzfig 10612. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10612	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   ZZcz 9407   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10688  iseqf1olemjpcl  10690  iseqf1olemqpcl  10691  iseqf1olemfvp  10692  seq3f1olemqsum  10695  seq3f1olemstep  10696  seq3f1olemp  10697  seqf1oglem2  10702  seqf1og  10703  fseq1hash  10983  hashfz  11003  fnfz0hash  11014  nnf1o  11802  summodclem2a  11807  summodclem2  11808  summodc  11809  zsumdc  11810  fsum3  11813  fisumss  11818  fsumm1  11842  fsum1p  11844  fisum0diag  11867  fsumrev  11869  fsumshft  11870  fisum0diag2  11873  iserabs  11901  binomlem  11909  binom1dif  11913  isumsplit  11917  arisum2  11925  pwm1geoserap1  11934  geo2sum  11940  cvgratnnlemabsle  11953  cvgratnnlemrate  11956  mertenslemub  11960  mertenslemi1  11961  mertenslem2  11962  mertensabs  11963  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  prodmodclem2  12003  zproddc  12005  fprodseq  12009  fprodssdc  12016  fprodm1  12024  fprod1p  12025  fprodabs  12042  fprodeq0  12043  fprodshft  12044  fprodrev  12045  fprod0diagfz  12054  efcvgfsum  12093  efaddlem  12100  eirraplem  12203  3dvds  12290  prmdc  12567  phivalfi  12649  phicl2  12651  hashdvds  12658  phiprmpw  12659  eulerthlemrprm  12666  eulerthlema  12667  eulerthlemh  12668  eulerthlemth  12669  eulerth  12670  dvdsfi  12676  pcfac  12788  pcbc  12789  1arith  12805  4sqlem11  12839  gsumfzval  13338  gsumval2  13344  gsumsplit1r  13345  gsumfzz  13442  gsumfzcl  13446  mulgnngsum  13578  gsumfzreidx  13788  gsumfzsubmcl  13789  gsumfzmptfidmadd  13790  gsumfzmptfidmadd2  13791  gsumfzconst  13792  gsumfzmhm  13794  gsumfzfsumlemm  14464  plyf  15324  ply1termlem  15329  plyaddlem1  15334  plymullem1  15335  plymullem  15337  plycoeid3  15344  plycolemc  15345  plycjlemc  15347  plycn  15349  plyrecj  15350  dvply1  15352  sgmppw  15579  0sgmppw  15580  mersenne  15584  gausslemma2dlem1  15653  gausslemma2dlem4  15656  gausslemma2dlem5a  15657  gausslemma2dlem5  15658  gausslemma2dlem6  15659  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgseisenlem4  15665  lgseisen  15666  lgsquadlemsfi  15667  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  lgsquadlem3  15671  2lgslem1  15683  cvgcmp2nlemabs  16173  trilpolemlt1  16182  nconstwlpolemgt0  16205