Theorem fzfigd 10433

Description: Deduction form of fzfig 10432. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10432	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   Fincfn 6742   ZZcz 9255   ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10495  iseqf1olemjpcl  10497  iseqf1olemqpcl  10498  iseqf1olemfvp  10499  seq3f1olemqsum  10502  seq3f1olemstep  10503  seq3f1olemp  10504  fseq1hash  10783  hashfz  10803  fnfz0hash  10814  nnf1o  11386  summodclem2a  11391  summodclem2  11392  summodc  11393  zsumdc  11394  fsum3  11397  fisumss  11402  fsumm1  11426  fsum1p  11428  fisum0diag  11451  fsumrev  11453  fsumshft  11454  fisum0diag2  11457  iserabs  11485  binomlem  11493  binom1dif  11497  isumsplit  11501  arisum2  11509  pwm1geoserap1  11518  geo2sum  11524  cvgratnnlemabsle  11537  cvgratnnlemrate  11540  mertenslemub  11544  mertenslemi1  11545  mertenslem2  11546  mertensabs  11547  prodmodclem3  11585  prodmodclem2a  11586  prodmodclem2  11587  zproddc  11589  fprodseq  11593  fprodssdc  11600  fprodm1  11608  fprod1p  11609  fprodabs  11626  fprodeq0  11627  fprodshft  11628  fprodrev  11629  fprod0diagfz  11638  efcvgfsum  11677  efaddlem  11684  eirraplem  11786  prmdc  12132  phivalfi  12214  phicl2  12216  hashdvds  12223  phiprmpw  12224  eulerthlemrprm  12231  eulerthlema  12232  eulerthlemh  12233  eulerthlemth  12234  eulerth  12235  phisum  12242  pcfac  12350  pcbc  12351  1arith  12367  lgseisenlem2  14536  cvgcmp2nlemabs  14865  trilpolemlt1  14874  nconstwlpolemgt0  14897