Theorem fzfigd 10461

Description: Deduction form of fzfig 10460. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10460	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160  (class class class)co 5895   Fincfn 6765   ZZcz 9282   ...cfz 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-1o 6440  df-er 6558  df-en 6766  df-fin 6768  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10523  iseqf1olemjpcl  10525  iseqf1olemqpcl  10526  iseqf1olemfvp  10527  seq3f1olemqsum  10530  seq3f1olemstep  10531  seq3f1olemp  10532  fseq1hash  10812  hashfz  10832  fnfz0hash  10843  nnf1o  11415  summodclem2a  11420  summodclem2  11421  summodc  11422  zsumdc  11423  fsum3  11426  fisumss  11431  fsumm1  11455  fsum1p  11457  fisum0diag  11480  fsumrev  11482  fsumshft  11483  fisum0diag2  11486  iserabs  11514  binomlem  11522  binom1dif  11526  isumsplit  11530  arisum2  11538  pwm1geoserap1  11547  geo2sum  11553  cvgratnnlemabsle  11566  cvgratnnlemrate  11569  mertenslemub  11573  mertenslemi1  11574  mertenslem2  11575  mertensabs  11576  prodmodclem3  11614  prodmodclem2a  11615  prodmodclem2  11616  zproddc  11618  fprodseq  11622  fprodssdc  11629  fprodm1  11637  fprod1p  11638  fprodabs  11655  fprodeq0  11656  fprodshft  11657  fprodrev  11658  fprod0diagfz  11667  efcvgfsum  11706  efaddlem  11713  eirraplem  11815  prmdc  12161  phivalfi  12243  phicl2  12245  hashdvds  12252  phiprmpw  12253  eulerthlemrprm  12260  eulerthlema  12261  eulerthlemh  12262  eulerthlemth  12263  eulerth  12264  phisum  12271  pcfac  12381  pcbc  12382  1arith  12398  4sqlem11  12432  lgseisenlem2  14904  cvgcmp2nlemabs  15234  trilpolemlt1  15243  nconstwlpolemgt0  15266