Theorem fzfigd 10540

Description: Deduction form of fzfig 10539. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10539	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   ZZcz 9343   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10615  iseqf1olemjpcl  10617  iseqf1olemqpcl  10618  iseqf1olemfvp  10619  seq3f1olemqsum  10622  seq3f1olemstep  10623  seq3f1olemp  10624  seqf1oglem2  10629  seqf1og  10630  fseq1hash  10910  hashfz  10930  fnfz0hash  10941  nnf1o  11558  summodclem2a  11563  summodclem2  11564  summodc  11565  zsumdc  11566  fsum3  11569  fisumss  11574  fsumm1  11598  fsum1p  11600  fisum0diag  11623  fsumrev  11625  fsumshft  11626  fisum0diag2  11629  iserabs  11657  binomlem  11665  binom1dif  11669  isumsplit  11673  arisum2  11681  pwm1geoserap1  11690  geo2sum  11696  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemrate  11712  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  mertenslem2  11718  mertensabs  11719  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  prodmodclem2  11759  zproddc  11761  fprodseq  11765  fprodssdc  11772  fprodm1  11780  fprod1p  11781  fprodabs  11798  fprodeq0  11799  fprodshft  11800  fprodrev  11801  fprod0diagfz  11810  efcvgfsum  11849  efaddlem  11856  eirraplem  11959  3dvds  12046  prmdc  12323  phivalfi  12405  phicl2  12407  hashdvds  12414  phiprmpw  12415  eulerthlemrprm  12422  eulerthlema  12423  eulerthlemh  12424  eulerthlemth  12425  eulerth  12426  dvdsfi  12432  pcfac  12544  pcbc  12545  1arith  12561  4sqlem11  12595  gsumfzval  13093  gsumval2  13099  gsumsplit1r  13100  gsumfzz  13197  gsumfzcl  13201  mulgnngsum  13333  gsumfzreidx  13543  gsumfzsubmcl  13544  gsumfzmptfidmadd  13545  gsumfzmptfidmadd2  13546  gsumfzconst  13547  gsumfzmhm  13549  gsumfzfsumlemm  14219  plyf  15057  ply1termlem  15062  plyaddlem1  15067  plymullem1  15068  plymullem  15070  plycoeid3  15077  plycolemc  15078  plycjlemc  15080  plycn  15082  plyrecj  15083  dvply1  15085  sgmppw  15312  0sgmppw  15313  mersenne  15317  gausslemma2dlem1  15386  gausslemma2dlem4  15389  gausslemma2dlem5a  15390  gausslemma2dlem5  15391  gausslemma2dlem6  15392  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem3  15397  lgseisenlem4  15398  lgseisen  15399  lgsquadlemsfi  15400  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  lgsquadlem3  15404  2lgslem1  15416  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemlt1  15772  nconstwlpolemgt0  15795