Theorem fzfigd 10797

Description: Deduction form of fzfig 10796. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10796	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205  (class class class)co 6052   Fincfn 6977   ZZcz 9579   ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10872  iseqf1olemjpcl  10874  iseqf1olemqpcl  10875  iseqf1olemfvp  10876  seq3f1olemqsum  10879  seq3f1olemstep  10880  seq3f1olemp  10881  seqf1oglem2  10886  seqf1og  10887  fseq1hash  11169  hashfz  11190  fnfz0hash  11203  sseqn  11207  nnf1o  12066  summodclem2a  12071  summodclem2  12072  summodc  12073  zsumdc  12074  fsum3  12077  fisumss  12082  fsumm1  12106  fsum1p  12108  fisum0diag  12131  fsumrev  12133  fsumshft  12134  fisum0diag2  12137  iserabs  12165  binomlem  12173  binom1dif  12177  isumsplit  12181  arisum2  12189  pwm1geoserap1  12198  geo2sum  12204  cvgratnnlemabsle  12217  cvgratnnlemrate  12220  mertenslemub  12224  mertenslemi1  12225  mertenslem2  12226  mertensabs  12227  prodmodclem3  12265  prodmodclem2a  12266  prodmodclem2  12267  zproddc  12269  fprodseq  12273  fprodssdc  12280  fprodm1  12288  fprod1p  12289  fprodabs  12306  fprodeq0  12307  fprodshft  12308  fprodrev  12309  fprod0diagfz  12318  efcvgfsum  12357  efaddlem  12364  eirraplem  12467  3dvds  12554  prmdc  12831  phivalfi  12913  phicl2  12915  hashdvds  12922  phiprmpw  12923  eulerthlemrprm  12930  eulerthlema  12931  eulerthlemh  12932  eulerthlemth  12933  eulerth  12934  dvdsfi  12940  pcfac  13052  pcbc  13053  1arith  13069  4sqlem11  13103  ballotfilemcinfi  13147  ballotfilemdifcfi  13148  ballotfilemfc0  13153  ballotfilemfcc  13154  gsumfzval  13621  gsumval2  13627  gsumsplit1r  13628  gsumfzz  13725  gsumfzcl  13729  mulgnngsum  13861  gsumfzreidx  14071  gsumfzsubmcl  14072  gsumfzmptfidmadd  14073  gsumfzmptfidmadd2  14074  gsumfzconst  14075  gsumfzmhm  14077  gsumfzfsumlemm  14752  plyf  15619  ply1termlem  15624  plyaddlem1  15629  plymullem1  15630  plymullem  15632  plycoeid3  15639  plycolemc  15640  plycjlemc  15642  plycn  15644  plyrecj  15645  dvply1  15647  sgmppw  15877  0sgmppw  15878  mersenne  15882  gausslemma2dlem1  15951  gausslemma2dlem4  15954  gausslemma2dlem5a  15955  gausslemma2dlem5  15956  gausslemma2dlem6  15957  lgseisenlem2  15961  lgseisenlem3  15962  lgseisenlem4  15963  lgseisen  15964  lgsquadlemsfi  15965  lgsquadlem1  15967  lgsquadlem2  15968  lgsquadlem3  15969  2lgslem1  15981  wksfval  16334  wlkex  16337  iswlkg  16341  cvgcmp2nlemabs  16833  trilpolemlt1  16842  nconstwlpolemgt0  16867  gfsumval  16879  gsumgfsum1  16880  gsumgfsumlem  16882  gsumgfsum  16883