Theorem fzfigd 10576

Description: Deduction form of fzfig 10575. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10575	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   Fincfn 6827   ZZcz 9372   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10651  iseqf1olemjpcl  10653  iseqf1olemqpcl  10654  iseqf1olemfvp  10655  seq3f1olemqsum  10658  seq3f1olemstep  10659  seq3f1olemp  10660  seqf1oglem2  10665  seqf1og  10666  fseq1hash  10946  hashfz  10966  fnfz0hash  10977  nnf1o  11687  summodclem2a  11692  summodclem2  11693  summodc  11694  zsumdc  11695  fsum3  11698  fisumss  11703  fsumm1  11727  fsum1p  11729  fisum0diag  11752  fsumrev  11754  fsumshft  11755  fisum0diag2  11758  iserabs  11786  binomlem  11794  binom1dif  11798  isumsplit  11802  arisum2  11810  pwm1geoserap1  11819  geo2sum  11825  cvgratnnlemabsle  11838  cvgratnnlemrate  11841  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  mertenslem2  11847  mertensabs  11848  prodmodclem3  11886  prodmodclem2a  11887  prodmodclem2  11888  zproddc  11890  fprodseq  11894  fprodssdc  11901  fprodm1  11909  fprod1p  11910  fprodabs  11927  fprodeq0  11928  fprodshft  11929  fprodrev  11930  fprod0diagfz  11939  efcvgfsum  11978  efaddlem  11985  eirraplem  12088  3dvds  12175  prmdc  12452  phivalfi  12534  phicl2  12536  hashdvds  12543  phiprmpw  12544  eulerthlemrprm  12551  eulerthlema  12552  eulerthlemh  12553  eulerthlemth  12554  eulerth  12555  dvdsfi  12561  pcfac  12673  pcbc  12674  1arith  12690  4sqlem11  12724  gsumfzval  13223  gsumval2  13229  gsumsplit1r  13230  gsumfzz  13327  gsumfzcl  13331  mulgnngsum  13463  gsumfzreidx  13673  gsumfzsubmcl  13674  gsumfzmptfidmadd  13675  gsumfzmptfidmadd2  13676  gsumfzconst  13677  gsumfzmhm  13679  gsumfzfsumlemm  14349  plyf  15209  ply1termlem  15214  plyaddlem1  15219  plymullem1  15220  plymullem  15222  plycoeid3  15229  plycolemc  15230  plycjlemc  15232  plycn  15234  plyrecj  15235  dvply1  15237  sgmppw  15464  0sgmppw  15465  mersenne  15469  gausslemma2dlem1  15538  gausslemma2dlem4  15541  gausslemma2dlem5a  15542  gausslemma2dlem5  15543  gausslemma2dlem6  15544  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem3  15549  lgseisenlem4  15550  lgseisen  15551  lgsquadlemsfi  15552  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  lgsquadlem3  15556  2lgslem1  15568  cvgcmp2nlemabs  15971  trilpolemlt1  15980  nconstwlpolemgt0  16003