Theorem fzfigd 10694

Description: Deduction form of fzfig 10693. (Contributed by Jim Kingdon, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzfigd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fzfigd.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fzfigd	|- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Proof of Theorem fzfigd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfigd.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fzfigd.n	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		fzfig 10693	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. Fin )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   ZZcz 9479   ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  iseqf1olemqf1o  10769  iseqf1olemjpcl  10771  iseqf1olemqpcl  10772  iseqf1olemfvp  10773  seq3f1olemqsum  10776  seq3f1olemstep  10777  seq3f1olemp  10778  seqf1oglem2  10783  seqf1og  10784  fseq1hash  11065  hashfz  11086  fnfz0hash  11097  nnf1o  11955  summodclem2a  11960  summodclem2  11961  summodc  11962  zsumdc  11963  fsum3  11966  fisumss  11971  fsumm1  11995  fsum1p  11997  fisum0diag  12020  fsumrev  12022  fsumshft  12023  fisum0diag2  12026  iserabs  12054  binomlem  12062  binom1dif  12066  isumsplit  12070  arisum2  12078  pwm1geoserap1  12087  geo2sum  12093  cvgratnnlemabsle  12106  cvgratnnlemrate  12109  mertenslemub  12113  mertenslemi1  12114  mertenslem2  12115  mertensabs  12116  prodmodclem3  12154  prodmodclem2a  12155  prodmodclem2  12156  zproddc  12158  fprodseq  12162  fprodssdc  12169  fprodm1  12177  fprod1p  12178  fprodabs  12195  fprodeq0  12196  fprodshft  12197  fprodrev  12198  fprod0diagfz  12207  efcvgfsum  12246  efaddlem  12253  eirraplem  12356  3dvds  12443  prmdc  12720  phivalfi  12802  phicl2  12804  hashdvds  12811  phiprmpw  12812  eulerthlemrprm  12819  eulerthlema  12820  eulerthlemh  12821  eulerthlemth  12822  eulerth  12823  dvdsfi  12829  pcfac  12941  pcbc  12942  1arith  12958  4sqlem11  12992  gsumfzval  13492  gsumval2  13498  gsumsplit1r  13499  gsumfzz  13596  gsumfzcl  13600  mulgnngsum  13732  gsumfzreidx  13942  gsumfzsubmcl  13943  gsumfzmptfidmadd  13944  gsumfzmptfidmadd2  13945  gsumfzconst  13946  gsumfzmhm  13948  gsumfzfsumlemm  14620  plyf  15480  ply1termlem  15485  plyaddlem1  15490  plymullem1  15491  plymullem  15493  plycoeid3  15500  plycolemc  15501  plycjlemc  15503  plycn  15505  plyrecj  15506  dvply1  15508  sgmppw  15735  0sgmppw  15736  mersenne  15740  gausslemma2dlem1  15809  gausslemma2dlem4  15812  gausslemma2dlem5a  15813  gausslemma2dlem5  15814  gausslemma2dlem6  15815  lgseisenlem2  15819  lgseisenlem3  15820  lgseisenlem4  15821  lgseisen  15822  lgsquadlemsfi  15823  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  lgsquadlem3  15827  2lgslem1  15839  wksfval  16192  wlkex  16195  iswlkg  16199  cvgcmp2nlemabs  16687  trilpolemlt1  16696  nconstwlpolemgt0  16720  gfsumval  16732  gsumgfsum1  16733  gsumgfsumlem  16735  gsumgfsum  16736