Theorem cj11 10858

Description: Complex conjugate is a one-to-one function. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 2-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
cj11	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) = ( * ` B ) <-> A = B ) )

Proof of Theorem cj11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5494	. . 3 |- ( ( * ` A ) = ( * ` B ) -> ( * ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( * ` B ) ) )
2		cjcj 10836	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` ( * ` A ) ) = A )
3		cjcj 10836	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( * ` ( * ` B ) ) = B )
4	2, 3	eqeqan12d 2186	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` ( * ` A ) ) = ( * ` ( * ` B ) ) <-> A = B ) )
5	1, 4	syl5ib 153	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) = ( * ` B ) -> A = B ) )
6		fveq2 5494	. 2 |- ( A = B -> ( * ` A ) = ( * ` B ) )
7	5, 6	impbid1 141	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) = ( * ` B ) <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5196   CCcc 7761   *ccj 10792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-2 8926  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797

This theorem is referenced by:  cjne0  10861