ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjreim2 Unicode version

Theorem cjreim2 10255
Description: The conjugate of the representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cjreim2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  ( A  -  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )

Proof of Theorem cjreim2
StepHypRef Expression
1 cjreim 10254 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( A  -  ( _i  x.  B
) ) )
21fveq2d 5274 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  (
* `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  =  ( * `
 ( A  -  ( _i  x.  B
) ) ) )
3 simpl 107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
43recnd 7463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
5 ax-icn 7387 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
7 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
87recnd 7463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
96, 8mulcld 7455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
104, 9addcld 7454 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
11 cjcj 10234 . . 3  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )
1210, 11syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  (
* `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )
132, 12eqtr3d 2119 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  ( A  -  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436   ` cfv 4983  (class class class)co 5615   CCcc 7295   RRcr 7296   _ici 7299    + caddc 7300    x. cmul 7302    - cmin 7600   *ccj 10190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-2 8419  df-cj 10193  df-re 10194  df-im 10195
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator