Theorem cjreim2 10255

Description: The conjugate of the representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cjreim2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A - ( _i x. B ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )

Proof of Theorem cjreim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjreim 10254	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = ( A - ( _i x. B ) ) )
2	1	fveq2d 5274	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) = ( * ` ( A - ( _i x. B ) ) ) )
3		simpl 107	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4	3	recnd 7463	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. CC )
5		ax-icn 7387	. . . . . 6 |- _i e. CC
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> _i e. CC )
7		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
8	7	recnd 7463	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. CC )
9	6, 8	mulcld 7455	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( _i x. B ) e. CC )
10	4, 9	addcld 7454	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
11		cjcj 10234	. . 3 |- ( ( A + ( _i x. B ) ) e. CC -> ( * ` ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )
13	2, 12	eqtr3d 2119	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A - ( _i x. B ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1287   e. wcel 1436   ` cfv 4983  (class class class)co 5615   CCcc 7295   RRcr 7296   _ici 7299   + caddc 7300   x. cmul 7302   - cmin 7600   *ccj 10190

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-2 8419  df-cj 10193  df-re 10194  df-im 10195

This theorem is referenced by: (None)