ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjreim2 Unicode version

Theorem cjreim2 10616
Description: The conjugate of the representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cjreim2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  ( A  -  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )

Proof of Theorem cjreim2
StepHypRef Expression
1 cjreim 10615 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( A  -  ( _i  x.  B
) ) )
21fveq2d 5391 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  (
* `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  =  ( * `
 ( A  -  ( _i  x.  B
) ) ) )
3 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
43recnd 7758 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
5 ax-icn 7679 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
7 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
87recnd 7758 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
96, 8mulcld 7750 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
104, 9addcld 7749 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
11 cjcj 10595 . . 3  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )
1210, 11syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  (
* `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )
132, 12eqtr3d 2150 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  ( A  -  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   _ici 7586    + caddc 7587    x. cmul 7589    - cmin 7897   *ccj 10551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-2 8736  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator