ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjreim2 Unicode version

Theorem cjreim2 10944
Description: The conjugate of the representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cjreim2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  ( A  -  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )

Proof of Theorem cjreim2
StepHypRef Expression
1 cjreim 10943 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( A  -  ( _i  x.  B
) ) )
21fveq2d 5538 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  (
* `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  =  ( * `
 ( A  -  ( _i  x.  B
) ) ) )
3 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
43recnd 8015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
5 ax-icn 7935 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
7 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
87recnd 8015 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
96, 8mulcld 8007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
104, 9addcld 8006 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
11 cjcj 10923 . . 3  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )
1210, 11syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  (
* `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )
132, 12eqtr3d 2224 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( * `  ( A  -  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   RRcr 7839   _ici 7842    + caddc 7843    x. cmul 7845    - cmin 8157   *ccj 10879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-2 9007  df-cj 10882  df-re 10883  df-im 10884
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator