Theorem cjreim2 10165

Description: The conjugate of the representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cjreim2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A - ( _i x. B ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )

Proof of Theorem cjreim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjreim 10164	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = ( A - ( _i x. B ) ) )
2	1	fveq2d 5257	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) = ( * ` ( A - ( _i x. B ) ) ) )
3		simpl 107	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4	3	recnd 7419	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. CC )
5		ax-icn 7343	. . . . . 6 |- _i e. CC
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> _i e. CC )
7		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
8	7	recnd 7419	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. CC )
9	6, 8	mulcld 7411	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( _i x. B ) e. CC )
10	4, 9	addcld 7410	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
11		cjcj 10144	. . 3 |- ( ( A + ( _i x. B ) ) e. CC -> ( * ` ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )
13	2, 12	eqtr3d 2117	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A - ( _i x. B ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   ` cfv 4969  (class class class)co 5591   CCcc 7251   RRcr 7252   _ici 7255   + caddc 7256   x. cmul 7258   - cmin 7556   *ccj 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-2 8375  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105

This theorem is referenced by: (None)