Theorem cjreim2 10815

Description: The conjugate of the representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cjreim2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A - ( _i x. B ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )

Proof of Theorem cjreim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjreim 10814	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = ( A - ( _i x. B ) ) )
2	1	fveq2d 5474	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) = ( * ` ( A - ( _i x. B ) ) ) )
3		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4	3	recnd 7908	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. CC )
5		ax-icn 7829	. . . . . 6 |- _i e. CC
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> _i e. CC )
7		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
8	7	recnd 7908	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. CC )
9	6, 8	mulcld 7900	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( _i x. B ) e. CC )
10	4, 9	addcld 7899	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
11		cjcj 10794	. . 3 |- ( ( A + ( _i x. B ) ) e. CC -> ( * ` ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )
13	2, 12	eqtr3d 2192	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A - ( _i x. B ) ) ) = ( A + ( _i x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   CCcc 7732   RRcr 7733   _ici 7736   + caddc 7737   x. cmul 7739   - cmin 8050   *ccj 10750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-2 8897  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755

This theorem is referenced by: (None)