Theorem cjcj 10825

Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjcj	|- ( A e. CC -> ( * ` ( * ` A ) ) = A )

Proof of Theorem cjcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 10790	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
2		recj 10809	. . . . 5 |- ( ( * ` A ) e. CC -> ( Re ` ( * ` ( * ` A ) ) ) = ( Re ` ( * ` A ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( * ` ( * ` A ) ) ) = ( Re ` ( * ` A ) ) )
4		recj 10809	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` A ) )
5	3, 4	eqtrd 2198	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( * ` ( * ` A ) ) ) = ( Re ` A ) )
6		imcj 10817	. . . . . 6 |- ( ( * ` A ) e. CC -> ( Im ` ( * ` ( * ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( * ` A ) ) )
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` ( * ` A ) ) ) = -u ( Im ` ( * ` A ) ) )
8		imcj 10817	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
9	8	negeqd 8093	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( * ` A ) ) = -u -u ( Im ` A ) )
10		imcl 10796	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
11	10	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
12	11	negnegd 8200	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> -u -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) )
13	9, 12	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` ( * ` A ) ) = ( Im ` A ) )
14	7, 13	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( * ` ( * ` A ) ) ) = ( Im ` A ) )
15	14	oveq2d 5858	. . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` ( * ` ( * ` A ) ) ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) )
16	5, 15	oveq12d 5860	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` ( * ` ( * ` A ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( * ` ( * ` A ) ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
17		cjcl 10790	. . 3 |- ( ( * ` A ) e. CC -> ( * ` ( * ` A ) ) e. CC )
18		replim 10801	. . 3 |- ( ( * ` ( * ` A ) ) e. CC -> ( * ` ( * ` A ) ) = ( ( Re ` ( * ` ( * ` A ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( * ` ( * ` A ) ) ) ) ) )
19	1, 17, 18	3syl 17	. 2 |- ( A e. CC -> ( * ` ( * ` A ) ) = ( ( Re ` ( * ` ( * ` A ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( * ` ( * ` A ) ) ) ) ) )
20		replim 10801	. 2 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
21	16, 19, 20	3eqtr4d 2208	1 |- ( A e. CC -> ( * ` ( * ` A ) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   _ici 7755   + caddc 7756   x. cmul 7758   -ucneg 8070   *ccj 10781   Recre 10782   Imcim 10783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-2 8916  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786

This theorem is referenced by:  cjmulrcl  10829  cjreim2  10846  cj11  10847  cjcji  10857  cjcjd  10885  abscj  10994  sqabsadd  10997  sqabssub  10998