Theorem recvalap 10495

Description: Reciprocal expressed with a real denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recvalap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( * ` A ) / ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem recvalap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 10247	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
2	1	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( * ` A ) e. CC )
3		simpl 107	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A e. CC )
4	2, 3	mulcomd 7488	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( * ` A ) x. A ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
5		absvalsq 10451	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
6	5	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
7	4, 6	eqtr4d 2123	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( * ` A ) x. A ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
8		abscl 10449	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
9	8	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
10	9	recnd 7495	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
11	10	sqcld 10049	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. CC )
12		cjap0 10306	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( * ` A ) # 0 ) )
13	12	biimpa 290	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( * ` A ) # 0 )
14	11, 2, 3, 13	divmulapd 8252	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) = A <-> ( ( * ` A ) x. A ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
15	7, 14	mpbird 165	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) = A )
16	15	oveq2d 5650	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) ) = ( 1 / A ) )
17		abs00ap 10460	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
18	17	biimpar 291	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) # 0 )
19		sqap0 9986	. . . . 5 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( abs ` A ) # 0 ) )
20	10, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( abs ` A ) # 0 ) )
21	18, 20	mpbird 165	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) # 0 )
22	11, 2, 21, 13	recdivapd 8247	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) ) = ( ( * ` A ) / ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
23	16, 22	eqtr3d 2122	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( * ` A ) / ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330   x. cmul 7334   # cap 8034   / cdiv 8113   2c2 8444   ^cexp 9919   *ccj 10238   abscabs 10395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397

This theorem is referenced by: (None)