ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recvalap Unicode version

Theorem recvalap 11138
Description: Reciprocal expressed with a real denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
recvalap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
1  /  A )  =  ( ( * `
 A )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem recvalap
StepHypRef Expression
1 cjcl 10889 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
21adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
* `  A )  e.  CC )
3 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  A  e.  CC )
42, 3mulcomd 8009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
( * `  A
)  x.  A )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
5 absvalsq 11094 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
65adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
74, 6eqtr4d 2225 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
( * `  A
)  x.  A )  =  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )
8 abscl 11092 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
98adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
109recnd 8016 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
1110sqcld 10683 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
12 cjap0 10948 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A #  0  <->  ( * `  A ) #  0 ) )
1312biimpa 296 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
* `  A ) #  0 )
1411, 2, 3, 13divmulapd 8799 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  /  ( * `
 A ) )  =  A  <->  ( (
* `  A )  x.  A )  =  ( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
157, 14mpbird 167 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( * `  A ) )  =  A )
1615oveq2d 5912 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
1  /  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( * `  A ) ) )  =  ( 1  /  A ) )
17 abs00ap 11103 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
1817biimpar 297 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( abs `  A ) #  0 )
19 sqap0 10618 . . . . 5  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 ) #  0  <->  ( abs `  A
) #  0 ) )
2010, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 ) #  0  <->  ( abs `  A
) #  0 ) )
2118, 20mpbird 167 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 ) #  0 )
2211, 2, 21, 13recdivapd 8794 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
1  /  ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  /  ( * `  A ) ) )  =  ( ( * `
 A )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
2316, 22eqtr3d 2224 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
1  /  A )  =  ( ( * `
 A )  / 
( ( abs `  A
) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842    x. cmul 7846   # cap 8568    / cdiv 8659   2c2 9000   ^cexp 10550   *ccj 10880   abscabs 11038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator