Theorem recvalap 11782

Description: Reciprocal expressed with a real denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recvalap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( * ` A ) / ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem recvalap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 11533	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( * ` A ) e. CC )
3		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A e. CC )
4	2, 3	mulcomd 8295	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( * ` A ) x. A ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
5		absvalsq 11738	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
7	4, 6	eqtr4d 2268	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( * ` A ) x. A ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
8		abscl 11736	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
10	9	recnd 8302	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
11	10	sqcld 11033	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. CC )
12		cjap0 11592	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( * ` A ) # 0 ) )
13	12	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( * ` A ) # 0 )
14	11, 2, 3, 13	divmulapd 9086	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) = A <-> ( ( * ` A ) x. A ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
15	7, 14	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) = A )
16	15	oveq2d 6066	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) ) = ( 1 / A ) )
17		abs00ap 11747	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
18	17	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) # 0 )
19		sqap0 10968	. . . . 5 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( abs ` A ) # 0 ) )
20	10, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( abs ` A ) # 0 ) )
21	18, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) # 0 )
22	11, 2, 21, 13	recdivapd 9081	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) ) = ( ( * ` A ) / ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
23	16, 22	eqtr3d 2267	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( * ` A ) / ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   x. cmul 8132   # cap 8855   / cdiv 8946   2c2 9288   ^cexp 10900   *ccj 11524   abscabs 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684

This theorem is referenced by: (None)