Theorem recvalap 11138

Description: Reciprocal expressed with a real denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recvalap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( * ` A ) / ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem recvalap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 10889	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( * ` A ) e. CC )
3		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> A e. CC )
4	2, 3	mulcomd 8009	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( * ` A ) x. A ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
5		absvalsq 11094	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
7	4, 6	eqtr4d 2225	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( * ` A ) x. A ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
8		abscl 11092	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
10	9	recnd 8016	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
11	10	sqcld 10683	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. CC )
12		cjap0 10948	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( * ` A ) # 0 ) )
13	12	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( * ` A ) # 0 )
14	11, 2, 3, 13	divmulapd 8799	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) = A <-> ( ( * ` A ) x. A ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
15	7, 14	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) = A )
16	15	oveq2d 5912	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) ) = ( 1 / A ) )
17		abs00ap 11103	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
18	17	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) # 0 )
19		sqap0 10618	. . . . 5 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( abs ` A ) # 0 ) )
20	10, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( abs ` A ) # 0 ) )
21	18, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) # 0 )
22	11, 2, 21, 13	recdivapd 8794	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) / ( * ` A ) ) ) = ( ( * ` A ) / ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )
23	16, 22	eqtr3d 2224	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) = ( ( * ` A ) / ( ( abs ` A ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842   x. cmul 7846   # cap 8568   / cdiv 8659   2c2 9000   ^cexp 10550   *ccj 10880   abscabs 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040

This theorem is referenced by: (None)