Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cjreim2 | GIF version |
Description: The conjugate of the representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
cjreim2 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด โ (i ยท ๐ต))) = (๐ด + (i ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cjreim 10879 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (๐ด โ (i ยท ๐ต))) | |
2 | 1 | fveq2d 5511 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(โโ(๐ด + (i ยท ๐ต)))) = (โโ(๐ด โ (i ยท ๐ต)))) |
3 | simpl 109 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ด โ โ) | |
4 | 3 | recnd 7960 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ด โ โ) |
5 | ax-icn 7881 | . . . . . 6 โข i โ โ | |
6 | 5 | a1i 9 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ i โ โ) |
7 | simpr 110 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ โ) | |
8 | 7 | recnd 7960 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ โ) |
9 | 6, 8 | mulcld 7952 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (i ยท ๐ต) โ โ) |
10 | 4, 9 | addcld 7951 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โ โ) |
11 | cjcj 10859 | . . 3 โข ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โ โ โ (โโ(โโ(๐ด + (i ยท ๐ต)))) = (๐ด + (i ยท ๐ต))) | |
12 | 10, 11 | syl 14 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(โโ(๐ด + (i ยท ๐ต)))) = (๐ด + (i ยท ๐ต))) |
13 | 2, 12 | eqtr3d 2210 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด โ (i ยท ๐ต))) = (๐ด + (i ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1353 โ wcel 2146 โcfv 5208 (class class class)co 5865 โcc 7784 โcr 7785 ici 7788 + caddc 7789 ยท cmul 7791 โ cmin 8102 โccj 10815 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1445 ax-7 1446 ax-gen 1447 ax-ie1 1491 ax-ie2 1492 ax-8 1502 ax-10 1503 ax-11 1504 ax-i12 1505 ax-bndl 1507 ax-4 1508 ax-17 1524 ax-i9 1528 ax-ial 1532 ax-i5r 1533 ax-13 2148 ax-14 2149 ax-ext 2157 ax-sep 4116 ax-pow 4169 ax-pr 4203 ax-un 4427 ax-setind 4530 ax-cnex 7877 ax-resscn 7878 ax-1cn 7879 ax-1re 7880 ax-icn 7881 ax-addcl 7882 ax-addrcl 7883 ax-mulcl 7884 ax-mulrcl 7885 ax-addcom 7886 ax-mulcom 7887 ax-addass 7888 ax-mulass 7889 ax-distr 7890 ax-i2m1 7891 ax-0lt1 7892 ax-1rid 7893 ax-0id 7894 ax-rnegex 7895 ax-precex 7896 ax-cnre 7897 ax-pre-ltirr 7898 ax-pre-ltwlin 7899 ax-pre-lttrn 7900 ax-pre-apti 7901 ax-pre-ltadd 7902 ax-pre-mulgt0 7903 ax-pre-mulext 7904 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1459 df-sb 1761 df-eu 2027 df-mo 2028 df-clab 2162 df-cleq 2168 df-clel 2171 df-nfc 2306 df-ne 2346 df-nel 2441 df-ral 2458 df-rex 2459 df-reu 2460 df-rmo 2461 df-rab 2462 df-v 2737 df-sbc 2961 df-dif 3129 df-un 3131 df-in 3133 df-ss 3140 df-pw 3574 df-sn 3595 df-pr 3596 df-op 3598 df-uni 3806 df-br 3999 df-opab 4060 df-mpt 4061 df-id 4287 df-po 4290 df-iso 4291 df-xp 4626 df-rel 4627 df-cnv 4628 df-co 4629 df-dm 4630 df-rn 4631 df-res 4632 df-ima 4633 df-iota 5170 df-fun 5210 df-fn 5211 df-f 5212 df-fv 5216 df-riota 5821 df-ov 5868 df-oprab 5869 df-mpo 5870 df-pnf 7968 df-mnf 7969 df-xr 7970 df-ltxr 7971 df-le 7972 df-sub 8104 df-neg 8105 df-reap 8506 df-ap 8513 df-div 8602 df-2 8949 df-cj 10818 df-re 10819 df-im 10820 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |