Theorem cjreim 10893

Description: The conjugate of a representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjreim	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = ( A - ( _i x. B ) ) )

Proof of Theorem cjreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7932	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		ax-icn 7894	. . . 4 |- _i e. CC
3		recn 7932	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
4		mulcl 7926	. . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 |- ( B e. RR -> ( _i x. B ) e. CC )
6		cjadd 10874	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` ( _i x. B ) ) ) )
7	1, 5, 6	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` ( _i x. B ) ) ) )
8		cjre 10872	. . 3 |- ( A e. RR -> ( * ` A ) = A )
9		cjmul 10875	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( _i x. B ) ) = ( ( * ` _i ) x. ( * ` B ) ) )
10	2, 3, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( * ` ( _i x. B ) ) = ( ( * ` _i ) x. ( * ` B ) ) )
11		cji 10892	. . . . . 6 |- ( * ` _i ) = -u _i
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( * ` _i ) = -u _i )
13		cjre 10872	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( * ` B ) = B )
14	12, 13	oveq12d 5887	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( ( * ` _i ) x. ( * ` B ) ) = ( -u _i x. B ) )
15		mulneg1 8339	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) = -u ( _i x. B ) )
16	2, 3, 15	sylancr 414	. . . 4 |- ( B e. RR -> ( -u _i x. B ) = -u ( _i x. B ) )
17	10, 14, 16	3eqtrd 2214	. . 3 |- ( B e. RR -> ( * ` ( _i x. B ) ) = -u ( _i x. B ) )
18	8, 17	oveqan12d 5888	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( * ` A ) + ( * ` ( _i x. B ) ) ) = ( A + -u ( _i x. B ) ) )
19		negsub 8192	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( A + -u ( _i x. B ) ) = ( A - ( _i x. B ) ) )
20	1, 5, 19	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u ( _i x. B ) ) = ( A - ( _i x. B ) ) )
21	7, 18, 20	3eqtrd 2214	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( * ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = ( A - ( _i x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7797   RRcr 7798   _ici 7801   + caddc 7802   x. cmul 7804   - cmin 8115   -ucneg 8116   *ccj 10829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-2 8964  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834

This theorem is referenced by:  cjreim2  10894  cjap  10896