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Theorem climcn2 11090
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn2.3a  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
climcn2.3b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
climcn2.4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  C  /\  v  e.  D ) )  -> 
( u F v )  e.  CC )
climcn2.5a  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climcn2.5b  |-  ( ph  ->  H  ~~>  B )
climcn2.6  |-  ( ph  ->  K  e.  W )
climcn2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
climcn2.8a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  C )
climcn2.8b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  e.  D )
climcn2.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K `  k )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
climcn2  |-  ( ph  ->  K  ~~>  ( A F B ) )
Distinct variable groups:    u, k, v, C    D, k, u, v   
y, k, z, H, v    x, k, ph, u, y, z, v    A, k, u, v, x, y, z    k, G, u, v, y, z    k, K, x    k, Z, y, z    B, k, u, v, x, y, z    k, F, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z)    D( x, y, z)    G( x)    H( x, u)    K( y, z, v, u)    M( x, y, z, v, u, k)    W( x, y, z, v, u, k)    Z( x, v, u)

Proof of Theorem climcn2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn2.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
2 climcn2.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 climcn2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ZZ )
5 simprl 520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  y  e.  RR+ )
6 eqidd 2140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  =  ( G `
 k ) )
7 climcn2.5a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
87adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  G  ~~>  A )
92, 4, 5, 6, 8climi2 11069 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
10 simprr 521 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  z  e.  RR+ )
11 eqidd 2140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k
)  =  ( H `
 k ) )
12 climcn2.5b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  ~~>  B )
1312adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  H  ~~>  B )
142, 4, 10, 11, 13climi2 11069 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) )  <  z )
152rexanuz2 10775 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z ) )
169, 14, 15sylanbrc 413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z ) )
172uztrn2 9355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
18 climcn2.8a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  C )
19 climcn2.8b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  e.  D )
20 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
u  -  A )  =  ( ( G `
 k )  -  A ) )
2120fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( u  -  A ) )  =  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) ) )
2221breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
2322anbi1d 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  B
) )  <  z
) ) )
24 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
u F v )  =  ( ( G `
 k ) F v ) )
2524oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( u F v )  -  ( A F B ) )  =  ( ( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )
2625fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( G `  k
) F v )  -  ( A F B ) ) ) )
2726breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
2823, 27imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
29 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
v  -  B )  =  ( ( H `
 k )  -  B ) )
3029fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  ( abs `  ( v  -  B ) )  =  ( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) ) )
3130breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( abs `  (
v  -  B ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B
) )  <  z
) )
3231anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B
) )  <  z
) ) )
33 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( G `  k
) F v )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
3433oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) )  =  ( ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )
3534fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  ( abs `  ( ( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) ) )
3635breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
3732, 36imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
3828, 37rspc2v 2802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D )  -> 
( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
3918, 19, 38syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x
) ) )
4039imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4140an32s 557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4217, 41sylan2 284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4342anassrs 397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4443ralimdva 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4544reximdva 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( (
( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4645ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
4746adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
4816, 47mpid 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4948rexlimdvva 2557 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
5049adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
511, 50mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x )
5251ralrimiva 2505 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) )  -  ( A F B ) ) )  <  x )
53 climcn2.6 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  W )
54 climcn2.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K `  k )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
55 climcn2.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  C  /\  v  e.  D ) )  -> 
( u F v )  e.  CC )
56 climcn2.3a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
57 climcn2.3b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
5855, 56, 57caovcld 5924 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  CC )
5918, 19jca 304 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D ) )
6055ralrimivva 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC )
6160adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC )
6224eleq1d 2208 . . . . 5  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( u F v )  e.  CC  <->  ( ( G `  k ) F v )  e.  CC ) )
6333eleq1d 2208 . . . . 5  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( G `  k ) F v )  e.  CC  <->  ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  e.  CC ) )
6462, 63rspc2v 2802 . . . 4  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D )  -> 
( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC  ->  ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  e.  CC ) )
6559, 61, 64sylc 62 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
) F ( H `
 k ) )  e.  CC )
662, 3, 53, 54, 58, 65clim2c 11065 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  ~~>  ( A F B )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
6752, 66mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  K  ~~>  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630    < clt 7812    - cmin 7945   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   RR+crp 9453   abscabs 10781    ~~> cli 11059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-clim 11060
This theorem is referenced by:  climadd  11107  climmul  11108  climsub  11109
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