Theorem climcn2 11820

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn2.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcn2.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcn2.3a	|- ( ph -> A e. C )
climcn2.3b	|- ( ph -> B e. D )
climcn2.4	|- ( ( ph /\ ( u e. C /\ v e. D ) ) -> ( u F v ) e. CC )
climcn2.5a	|- ( ph -> G ~~> A )
climcn2.5b	|- ( ph -> H ~~> B )
climcn2.6	|- ( ph -> K e. W )
climcn2.7	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
climcn2.8a	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. C )
climcn2.8b	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) e. D )
climcn2.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K ` k ) = ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcn2	|- ( ph -> K ~~> ( A F B ) )

Distinct variable groups:   u, k, v, C   D, k, u, v   y, k, z, H, v   x, k, ph, u, y, z, v   A, k, u, v, x, y, z   k, G, u, v, y, z   k, K, x   k, Z, y, z   B, k, u, v, x, y, z   k, F, u, v, x, y, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z)   D( x, y, z)   G( x)   H( x, u)   K( y, z, v, u)   M( x, y, z, v, u, k)   W( x, y, z, v, u, k)   Z( x, v, u)

Proof of Theorem climcn2

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn2.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
2		climcn2.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		climcn2.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> M e. ZZ )
5		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> y e. RR+ )
6		eqidd 2230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
7		climcn2.5a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G ~~> A )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> G ~~> A )
9	2, 4, 5, 6, 8	climi2 11799	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
10		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR+ )
11		eqidd 2230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( H ` k ) )
12		climcn2.5b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H ~~> B )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> H ~~> B )
14	2, 4, 10, 11, 13	climi2 11799	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z )
15	2	rexanuz2 11502	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) )
16	9, 14, 15	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) )
17	2	uztrn2 9740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
18		climcn2.8a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. C )
19		climcn2.8b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) e. D )
20		oveq1 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = ( G ` k ) -> ( u - A ) = ( ( G ` k ) - A ) )
21	20	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = ( G ` k ) -> ( abs ` ( u - A ) ) = ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) )
22	21	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( u - A ) ) < y <-> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
23	22	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = ( G ` k ) -> ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) ) )
24		oveq1 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = ( G ` k ) -> ( u F v ) = ( ( G ` k ) F v ) )
25	24	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = ( G ` k ) -> ( ( u F v ) - ( A F B ) ) = ( ( ( G ` k ) F v ) - ( A F B ) ) )
26	25	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = ( G ` k ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G ` k ) F v ) - ( A F B ) ) ) )
27	26	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
28	23, 27	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( G ` k ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) <-> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) )
29		oveq1 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( H ` k ) -> ( v - B ) = ( ( H ` k ) - B ) )
30	29	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = ( H ` k ) -> ( abs ` ( v - B ) ) = ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) )
31	30	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = ( H ` k ) -> ( ( abs ` ( v - B ) ) < z <-> ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) )
32	31	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = ( H ` k ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) ) )
33		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( H ` k ) -> ( ( G ` k ) F v ) = ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) )
34	33	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = ( H ` k ) -> ( ( ( G ` k ) F v ) - ( A F B ) ) = ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) )
35	34	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = ( H ` k ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F v ) - ( A F B ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) )
36	35	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = ( H ` k ) -> ( ( abs ` ( ( ( G ` k ) F v ) - ( A F B ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
37	32, 36	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = ( H ` k ) -> ( ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) <-> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) )
38	28, 37	rspc2v 2920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G ` k ) e. C /\ ( H ` k ) e. D ) -> ( A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) )
39	18, 19, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
41	40	an32s 568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
42	17, 41	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
43	42	anassrs 400	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
44	43	ralimdva 2597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
45	44	reximdva 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
46	45	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) )
47	46	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y /\ ( abs ` ( ( H ` k ) - B ) ) < z ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) ) )
48	16, 47	mpid 42	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
49	48	rexlimdvva 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
50	49	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. C A. v e. D ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( A F B ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
51	1, 50	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x )
52	51	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x )
53		climcn2.6	. . 3 |- ( ph -> K e. W )
54		climcn2.9	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( K ` k ) = ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) )
55		climcn2.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. C /\ v e. D ) ) -> ( u F v ) e. CC )
56		climcn2.3a	. . . 4 |- ( ph -> A e. C )
57		climcn2.3b	. . . 4 |- ( ph -> B e. D )
58	55, 56, 57	caovcld 6159	. . 3 |- ( ph -> ( A F B ) e. CC )
59	18, 19	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( G ` k ) e. C /\ ( H ` k ) e. D ) )
60	55	ralrimivva 2612	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. C A. v e. D ( u F v ) e. CC )
61	60	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. u e. C A. v e. D ( u F v ) e. CC )
62	24	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( u = ( G ` k ) -> ( ( u F v ) e. CC <-> ( ( G ` k ) F v ) e. CC ) )
63	33	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( v = ( H ` k ) -> ( ( ( G ` k ) F v ) e. CC <-> ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) e. CC ) )
64	62, 63	rspc2v 2920	. . . 4 |- ( ( ( G ` k ) e. C /\ ( H ` k ) e. D ) -> ( A. u e. C A. v e. D ( u F v ) e. CC -> ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) e. CC ) )
65	59, 61, 64	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) e. CC )
66	2, 3, 53, 54, 58, 65	clim2c 11795	. 2 |- ( ph -> ( K ~~> ( A F B ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( G ` k ) F ( H ` k ) ) - ( A F B ) ) ) < x ) )
67	52, 66	mpbird 167	1 |- ( ph -> K ~~> ( A F B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   < clt 8181   - cmin 8317   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   RR+crp 9849   abscabs 11508   ~~> cli 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-clim 11790

This theorem is referenced by:  climadd  11837  climmul  11838  climsub  11839