Theorem climi2 11229

Description: Convergence of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climi.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climi.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climi.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climi.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
climi.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climi2	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climi.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climi.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
4		climi.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
5		climi.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	climi 11228	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
7		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)
8	7	ralimi 2529	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)
9	8	reximi 2563	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)
10	6, 9	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   < clt 7933   − cmin 8069  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ℝ⁺crp 9589  abscabs 10939   ⇝ cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  climcn1  11249  climcn2  11250  climge0  11266  climsqz  11276  climsqz2  11277  mertenslem2  11477