Theorem cnpf2 14164

Description: A continuous function at point 𝑃 is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnpf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnpf2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1001	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2		topontop 13971	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
3		cnprcl2k 14163	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
4	2, 3	syl3an2 1283	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5		iscnp 14156	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 “ 𝑏) ⊆ 𝑎)))))
6	4, 5	syld3an3 1294	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 “ 𝑏) ⊆ 𝑎)))))
7	1, 6	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
8	7	simpld 112	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   ⊆ wss 3144   “ cima 4647  ⟶wf 5231  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  Topctop 13954  TopOnctopon 13967   CnP ccnp 14143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-map 6676  df-top 13955  df-topon 13968  df-cnp 14146

This theorem is referenced by:  iscnp4  14175  cnptopco  14179  cncnp2m  14188  cnptopresti  14195  lmtopcnp  14207  txcnp  14228  metcnpi3  14474  cnplimcim  14593  limccnpcntop  14601  limccnp2lem  14602  limccnp2cntop  14603