ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnpf2 GIF version
Theorem cnpf2 13710
Description: A continuous function at point 𝑃 is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnpf2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Proof of Theorem cnpf2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ))
2 topontop 13517 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
3 cnprcl2k 13709 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
42, 3syl3an2 1272 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
5 iscnp 13702 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 β€œ 𝑏) βŠ† π‘Ž)))))
64, 5syld3an3 1283 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 β€œ 𝑏) βŠ† π‘Ž)))))
71, 6mpbid 147 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 β€œ 𝑏) βŠ† π‘Ž))))
87simpld 112 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3130   β€œ cima 4630  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Topctop 13500  TopOnctopon 13513   CnP ccnp 13689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-top 13501  df-topon 13514  df-cnp 13692
This theorem is referenced by:  iscnp4  13721  cnptopco  13725  cncnp2m  13734  cnptopresti  13741  lmtopcnp  13753  txcnp  13774  metcnpi3  14020  cnplimcim  14139  limccnpcntop  14147  limccnp2lem  14148  limccnp2cntop  14149
  Copyright terms: Public domain W3C validator