Theorem cnpf2 12748

Description: A continuous function at point 𝑃 is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnpf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnpf2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 988	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2		topontop 12553	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
3		cnprcl2k 12747	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
4	2, 3	syl3an2 1261	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5		iscnp 12740	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 “ 𝑏) ⊆ 𝑎)))))
6	4, 5	syld3an3 1272	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 “ 𝑏) ⊆ 𝑎)))))
7	1, 6	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
8	7	simpld 111	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 967   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442  ∃wrex 2443   ⊆ wss 3111   “ cima 4601  ⟶wf 5178  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  Topctop 12536  TopOnctopon 12549   CnP ccnp 12727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-map 6607  df-top 12537  df-topon 12550  df-cnp 12730

This theorem is referenced by:  iscnp4  12759  cnptopco  12763  cncnp2m  12772  cnptopresti  12779  lmtopcnp  12791  txcnp  12812  metcnpi3  13058  cnplimcim  13177  limccnpcntop  13185  limccnp2lem  13186  limccnp2cntop  13187