ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divle1le Unicode version

Theorem divle1le 9359
Description: A real number divided by a positive real number is less than or equal to 1 iff the real number is less than or equal to the positive real number. (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
divle1le  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  <_  1  <->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem divle1le
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2 rpregt0 9304 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
32adantl 273 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
4 1re 7637 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 0lt1 7760 . . . . 5  |-  0  <  1
64, 5pm3.2i 268 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )
76a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
8 lediv23 8509 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( A  /  B )  <_  1  <->  ( A  /  1 )  <_  B ) )
91, 3, 7, 8syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  <_  1  <->  ( A  /  1 )  <_  B ) )
10 recn 7625 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1110div1d 8401 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  1 )  =  A )
1211adantr 272 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  1
)  =  A )
1312breq1d 3885 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  / 
1 )  <_  B  <->  A  <_  B ) )
149, 13bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  <_  1  <->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1299    e. wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   RRcr 7499   0cc0 7500   1c1 7501    < clt 7672    <_ cle 7673    / cdiv 8293   RR+crp 9291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-rp 9292
This theorem is referenced by:  ledivge1le  9360
  Copyright terms: Public domain W3C validator