Theorem divle1le 9728

Description: A real number divided by a positive real number is less than or equal to 1 iff the real number is less than or equal to the positive real number. (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divle1le	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) <_ 1 <-> A <_ B ) )

Proof of Theorem divle1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> A e. RR )
2		rpregt0 9670	. . . 4 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
4		1re 7959	. . . . 5 |- 1 e. RR
5		0lt1 8087	. . . . 5 |- 0 < 1
6	4, 5	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
8		lediv23 8853	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( ( A / B ) <_ 1 <-> ( A / 1 ) <_ B ) )
9	1, 3, 7, 8	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) <_ 1 <-> ( A / 1 ) <_ B ) )
10		recn 7947	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
11	10	div1d 8740	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A / 1 ) = A )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( A / 1 ) = A )
13	12	breq1d 4015	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / 1 ) <_ B <-> A <_ B ) )
14	9, 13	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) <_ 1 <-> A <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   RRcr 7813   0cc0 7814   1c1 7815   < clt 7995   <_ cle 7996   / cdiv 8632   RR+crp 9656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-rp 9657

This theorem is referenced by:  ledivge1le  9729