Theorem divlt1lt 10136

Description: A real number divided by a positive real number is less than 1 iff the real number is less than the positive real number. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divlt1lt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )

Proof of Theorem divlt1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> A e. RR )
2		rpregt0 10079	. . . 4 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
4		1re 8326	. . . . 5 |- 1 e. RR
5		0lt1 8455	. . . . 5 |- 0 < 1
6	4, 5	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
8		ltdiv23 9225	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> ( A / 1 ) < B ) )
9	1, 3, 7, 8	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> ( A / 1 ) < B ) )
10		recn 8313	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
11	10	div1d 9113	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A / 1 ) = A )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( A / 1 ) = A )
13	12	breq1d 4140	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / 1 ) < B <-> A < B ) )
14	9, 13	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   < clt 8361   / cdiv 9005   RR+crp 10065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-rp 10066

This theorem is used by:  adddivflid  10742  divfl0  10746  flodddiv4  12722  pigt3  16037