Theorem divlt1lt 9632

Description: A real number divided by a positive real number is less than 1 iff the real number is less than the positive real number. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divlt1lt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )

Proof of Theorem divlt1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> A e. RR )
2		rpregt0 9575	. . . 4 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
3	2	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
4		1re 7878	. . . . 5 |- 1 e. RR
5		0lt1 8003	. . . . 5 |- 0 < 1
6	4, 5	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
8		ltdiv23 8764	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> ( A / 1 ) < B ) )
9	1, 3, 7, 8	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> ( A / 1 ) < B ) )
10		recn 7866	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
11	10	div1d 8654	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A / 1 ) = A )
12	11	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( A / 1 ) = A )
13	12	breq1d 3976	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / 1 ) < B <-> A < B ) )
14	9, 13	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   RRcr 7732   0cc0 7733   1c1 7734   < clt 7913   / cdiv 8546   RR+crp 9561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-rp 9562

This theorem is referenced by:  adddivflid  10195  divfl0  10199  flodddiv4  11829  pigt3  13207