ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divlt1lt Unicode version

Theorem divlt1lt 9632
Description: A real number divided by a positive real number is less than 1 iff the real number is less than the positive real number. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
divlt1lt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  <  1  <->  A  <  B ) )

Proof of Theorem divlt1lt
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2 rpregt0 9575 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
32adantl 275 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
4 1re 7878 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 0lt1 8003 . . . . 5  |-  0  <  1
64, 5pm3.2i 270 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )
76a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
8 ltdiv23 8764 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( A  /  B )  <  1  <->  ( A  /  1 )  <  B ) )
91, 3, 7, 8syl3anc 1220 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  <  1  <->  ( A  /  1 )  <  B ) )
10 recn 7866 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1110div1d 8654 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  1 )  =  A )
1211adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  1
)  =  A )
1312breq1d 3976 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  / 
1 )  <  B  <->  A  <  B ) )
149, 13bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  <  1  <->  A  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   RRcr 7732   0cc0 7733   1c1 7734    < clt 7913    / cdiv 8546   RR+crp 9561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-rp 9562
This theorem is referenced by:  adddivflid  10195  divfl0  10199  flodddiv4  11829  pigt3  13207
  Copyright terms: Public domain W3C validator