Theorem domnmuln0 13769

Description: In a domain, a product of nonzero elements is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
domneq0.b	|- B = ( Base ` R )
domneq0.t	|- .x. = ( .r ` R )
domneq0.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
domnmuln0	|- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ X =/= .0. ) /\ ( Y e. B /\ Y =/= .0. ) ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. )

Proof of Theorem domnmuln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 586	. . 3 |- ( ( ( X e. B /\ X =/= .0. ) /\ ( Y e. B /\ Y =/= .0. ) ) <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) ) )
2		neanior 2451	. . . . . 6 |- ( ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) <-> -. ( X = .0. \/ Y = .0. ) )
3		domneq0.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
4		domneq0.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .r ` R )
5		domneq0.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
6	3, 4, 5	domneq0 13768	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Domn /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> ( X = .0. \/ Y = .0. ) ) )
7	6	3expb 1206	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> ( X = .0. \/ Y = .0. ) ) )
8	7	necon3abid 2403	. . . . . 6 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .x. Y ) =/= .0. <-> -. ( X = .0. \/ Y = .0. ) ) )
9	2, 8	bitr4id 199	. . . . 5 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) <-> ( X .x. Y ) =/= .0. ) )
10	9	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. ) )
11	10	expimpd 363	. . 3 |- ( R e. Domn -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. ) )
12	1, 11	biimtrid 152	. 2 |- ( R e. Domn -> ( ( ( X e. B /\ X =/= .0. ) /\ ( Y e. B /\ Y =/= .0. ) ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. ) )
13	12	3impib 1203	1 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ X =/= .0. ) /\ ( Y e. B /\ Y =/= .0. ) ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   .rcmulr 12696   0gc0g 12867  Domncdomn 13752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-mgp 13417  df-ring 13494  df-nzr 13676  df-domn 13755

This theorem is referenced by: (None)