Theorem domnmuln0 14349

Description: In a domain, a product of nonzero elements is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
domneq0.b	|- B = ( Base ` R )
domneq0.t	|- .x. = ( .r ` R )
domneq0.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
domnmuln0	|- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ X =/= .0. ) /\ ( Y e. B /\ Y =/= .0. ) ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. )

Proof of Theorem domnmuln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 588	. . 3 |- ( ( ( X e. B /\ X =/= .0. ) /\ ( Y e. B /\ Y =/= .0. ) ) <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) ) )
2		neanior 2490	. . . . . 6 |- ( ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) <-> -. ( X = .0. \/ Y = .0. ) )
3		domneq0.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
4		domneq0.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .r ` R )
5		domneq0.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
6	3, 4, 5	domneq0 14348	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Domn /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> ( X = .0. \/ Y = .0. ) ) )
7	6	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> ( X = .0. \/ Y = .0. ) ) )
8	7	necon3abid 2442	. . . . . 6 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .x. Y ) =/= .0. <-> -. ( X = .0. \/ Y = .0. ) ) )
9	2, 8	bitr4id 199	. . . . 5 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) <-> ( X .x. Y ) =/= .0. ) )
10	9	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. ) )
11	10	expimpd 363	. . 3 |- ( R e. Domn -> ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X =/= .0. /\ Y =/= .0. ) ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. ) )
12	1, 11	biimtrid 152	. 2 |- ( R e. Domn -> ( ( ( X e. B /\ X =/= .0. ) /\ ( Y e. B /\ Y =/= .0. ) ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. ) )
13	12	3impib 1228	1 |- ( ( R e. Domn /\ ( X e. B /\ X =/= .0. ) /\ ( Y e. B /\ Y =/= .0. ) ) -> ( X .x. Y ) =/= .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13143   .rcmulr 13222   0gc0g 13400  Domncdomn 14332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-mgp 13996  df-ring 14073  df-nzr 14256  df-domn 14335

This theorem is referenced by: (None)