Theorem domnmuln0 13839

Description: In a domain, a product of nonzero elements is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
domneq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
domneq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
domnmuln0	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem domnmuln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 586	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
2		neanior 2454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) ↔ ¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
3		domneq0.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		domneq0.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		domneq0.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	3, 4, 5	domneq0 13838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
7	6	3expb 1206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
8	7	necon3abid 2406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
9	2, 8	bitr4id 199	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) ↔ (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
10	9	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
11	10	expimpd 363	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
12	1, 11	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
13	12	3impib 1203	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Basecbs 12688  ._rcmulr 12766  0_gc0g 12937  Domncdomn 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-mgp 13487  df-ring 13564  df-nzr 13746  df-domn 13825

This theorem is referenced by: (None)