Theorem drnglring 14609

Description: A division ring is a local ring. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
drnglring	|- ( R e. DivRing -> R e. LRing )

Proof of Theorem drnglring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. . . 4 |- (#r ` R ) = (#r ` R )
3	1, 2	isdrngtap 14608	. . 3 |- ( R e. DivRing <-> ( R e. Ring /\ (#r ` R ) TAp ( Base ` R ) ) )
4		tapap 7616	. . 3 |- ( (#r ` R ) TAp ( Base ` R ) -> (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) )
5	3, 4	simplbiim 391	. 2 |- ( R e. DivRing -> (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) )
6	3	simplbi 274	. . 3 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
7		aprlring 14602	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( R e. LRing <-> (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( R e. DivRing -> ( R e. LRing <-> (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) )
9	5, 8	mpbird 167	1 |- ( R e. DivRing -> R e. LRing )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   ` cfv 5377   Ap wap 7607   TAp wtap 7614   Basecbs 13354   Ringcrg 14302  LRingclring 14499  #_rcapr 14591   DivRingcdr 14604

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pap 7608  df-tap 7615  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-sbg 13812  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-srg 14270  df-ring 14304  df-oppr 14375  df-dvdsr 14397  df-unit 14398  df-invr 14430  df-dvr 14441  df-nzr 14489  df-lring 14500  df-apr 14592  df-drngap 14606

This theorem is used by:  drngunitap  14610  drngring  14612  drngunz  14620