Theorem drnglring 14658

Description: A division ring is a local ring. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
drnglring	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ LRing)

Proof of Theorem drnglring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (#r‘𝑅) = (#r‘𝑅)
3	1, 2	isdrngtap 14657	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) TAp (Base‘𝑅)))
4		tapap 7617	. . 3 ⊢ ((#r‘𝑅) TAp (Base‘𝑅) → (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅))
5	3, 4	simplbiim 391	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅))
6	3	simplbi 274	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
7		aprlring 14651	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ LRing ↔ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑅 ∈ LRing ↔ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)))
9	5, 8	mpbird 167	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ LRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377   Ap wap 7608   TAp wtap 7615  Basecbs 13403  Ringcrg 14351  LRingclring 14548  #_rcapr 14640  DivRingcdr 14653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pap 7609  df-tap 7616  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-sets 13410  df-iress 13411  df-plusg 13495  df-mulr 13496  df-0g 13663  df-mgm 13727  df-sgrp 13768  df-mnd 13781  df-grp 13859  df-minusg 13860  df-sbg 13861  df-cmn 14140  df-abl 14141  df-mgp 14269  df-ur 14314  df-srg 14319  df-ring 14353  df-oppr 14424  df-dvdsr 14446  df-unit 14447  df-invr 14479  df-dvr 14490  df-nzr 14538  df-lring 14549  df-apr 14641  df-drngap 14655

This theorem is used by:  drngunitap  14659  drngring  14661  drngunz  14669