Theorem dvdsr2d 14402

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
dvdsrvald.2	|- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
dvdsrvald.r	|- ( ph -> R e. SRing )
dvdsrvald.3	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
dvdsr2d.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
dvdsr2d	|- ( ph -> ( X .|| Y <-> E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) )

Distinct variable groups:   z, B   z, X   z, Y   z, R   z, .x.   ph, z

Allowed substitution hint:   .|| ( z)

Proof of Theorem dvdsr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr2d.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		dvdsrvald.1	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		dvdsrvald.2	. . 3 |- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
4		dvdsrvald.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
5		dvdsrvald.3	. . 3 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
6	2, 3, 4, 5	dvdsrd 14401	. 2 |- ( ph -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
7	1, 6	mpbirand 445	1 |- ( ph -> ( X .|| Y <-> E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   .rcmulr 13432  SRingcsrg 14267   ||_rcdsr 14392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-mgp 14218  df-srg 14268  df-dvdsr 14395

This theorem is used by:  dvdsr01  14411  dvdsr02  14412  unitgrp  14423  rhmdvdsr  14482  rspsn  14871  znunit  14994