Theorem dvdsr2d 14099

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
dvdsrvald.2	|- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
dvdsrvald.r	|- ( ph -> R e. SRing )
dvdsrvald.3	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
dvdsr2d.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
dvdsr2d	|- ( ph -> ( X .|| Y <-> E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) )

Distinct variable groups:   z, B   z, X   z, Y   z, R   z, .x.   ph, z

Allowed substitution hint:   .|| ( z)

Proof of Theorem dvdsr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr2d.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		dvdsrvald.1	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		dvdsrvald.2	. . 3 |- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
4		dvdsrvald.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
5		dvdsrvald.3	. . 3 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
6	2, 3, 4, 5	dvdsrd 14098	. 2 |- ( ph -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
7	1, 6	mpbirand 441	1 |- ( ph -> ( X .|| Y <-> E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   .rcmulr 13151  SRingcsrg 13966   ||_rcdsr 14089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-mgp 13924  df-srg 13967  df-dvdsr 14092

This theorem is referenced by:  dvdsr01  14108  dvdsr02  14109  unitgrp  14120  rhmdvdsr  14179  rspsn  14538  znunit  14663