Theorem dvdsrmuld 14346

Description: A left-multiple of X is divisible by X. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
dvdsrvald.2	|- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
dvdsrvald.r	|- ( ph -> R e. SRing )
dvdsrvald.3	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
dvdsr2d.x	|- ( ph -> X e. B )
dvdsrmuld.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmuld	|- ( ph -> X .|| ( Y .x. X ) )

Proof of Theorem dvdsrmuld

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr2d.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		dvdsrmuld.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
3		eqid 2234	. . 3 |- ( Y .x. X ) = ( Y .x. X )
4		oveq1 6066	. . . . 5 |- ( z = Y -> ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
5	4	eqeq1d 2243	. . . 4 |- ( z = Y -> ( ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) <-> ( Y .x. X ) = ( Y .x. X ) ) )
6	5	rspcev 2923	. . 3 |- ( ( Y e. B /\ ( Y .x. X ) = ( Y .x. X ) ) -> E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
7	2, 3, 6	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
8		dvdsrvald.1	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
9		dvdsrvald.2	. . 3 |- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
10		dvdsrvald.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
11		dvdsrvald.3	. . 3 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
12	8, 9, 10, 11	dvdsrd 14344	. 2 |- ( ph -> ( X .|| ( Y .x. X ) <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) ) ) )
13	1, 7, 12	mpbir2and 953	1 |- ( ph -> X .|| ( Y .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   class class class wbr 4115   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   Basecbs 13301   .rcmulr 13380  SRingcsrg 14211   ||_rcdsr 14335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-ltxr 8330  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-sets 13308  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-0g 13560  df-mgm 13624  df-sgrp 13670  df-mnd 13683  df-mgp 14165  df-srg 14212  df-dvdsr 14338

This theorem is referenced by:  dvdsrid  14350  dvdsrtr  14351  dvdsrmul1  14352  dvdsrneg  14353  unitmulclb  14364  unitgrp  14366  subrguss  14487  subrgunit  14490