Theorem dvdsrmuld 14513

Description: A left-multiple of X is divisible by X. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
dvdsrvald.2	|- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
dvdsrvald.r	|- ( ph -> R e. SRing )
dvdsrvald.3	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
dvdsr2d.x	|- ( ph -> X e. B )
dvdsrmuld.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmuld	|- ( ph -> X .|| ( Y .x. X ) )

Proof of Theorem dvdsrmuld

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr2d.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		dvdsrmuld.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( Y .x. X ) = ( Y .x. X )
4		oveq1 6095	. . . . 5 |- ( z = Y -> ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
5	4	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( z = Y -> ( ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) <-> ( Y .x. X ) = ( Y .x. X ) ) )
6	5	rspcev 2929	. . 3 |- ( ( Y e. B /\ ( Y .x. X ) = ( Y .x. X ) ) -> E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
7	2, 3, 6	sylancl 417	. 2 |- ( ph -> E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
8		dvdsrvald.1	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
9		dvdsrvald.2	. . 3 |- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
10		dvdsrvald.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
11		dvdsrvald.3	. . 3 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
12	8, 9, 10, 11	dvdsrd 14511	. 2 |- ( ph -> ( X .|| ( Y .x. X ) <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) ) ) )
13	1, 7, 12	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> X .|| ( Y .x. X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13411   .rcmulr 13492  SRingcsrg 14375   ||_rcdsr 14502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-mgp 14326  df-srg 14376  df-dvdsr 14505

This theorem is used by:  dvdsrid  14517  dvdsrtr  14518  dvdsrmul1  14519  dvdsrneg  14520  unitmulclb  14531  unitgrp  14533  subrguss  14654  subrgunit  14657