Theorem dvdsrmuld 14045

Description: A left-multiple of X is divisible by X. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
dvdsrvald.2	|- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
dvdsrvald.r	|- ( ph -> R e. SRing )
dvdsrvald.3	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
dvdsr2d.x	|- ( ph -> X e. B )
dvdsrmuld.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmuld	|- ( ph -> X .|| ( Y .x. X ) )

Proof of Theorem dvdsrmuld

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr2d.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		dvdsrmuld.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( Y .x. X ) = ( Y .x. X )
4		oveq1 6001	. . . . 5 |- ( z = Y -> ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
5	4	eqeq1d 2238	. . . 4 |- ( z = Y -> ( ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) <-> ( Y .x. X ) = ( Y .x. X ) ) )
6	5	rspcev 2907	. . 3 |- ( ( Y e. B /\ ( Y .x. X ) = ( Y .x. X ) ) -> E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
7	2, 3, 6	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
8		dvdsrvald.1	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
9		dvdsrvald.2	. . 3 |- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
10		dvdsrvald.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
11		dvdsrvald.3	. . 3 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
12	8, 9, 10, 11	dvdsrd 14043	. 2 |- ( ph -> ( X .|| ( Y .x. X ) <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) ) ) )
13	1, 7, 12	mpbir2and 950	1 |- ( ph -> X .|| ( Y .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4082   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   .rcmulr 13097  SRingcsrg 13912   ||_rcdsr 14035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-mgp 13870  df-srg 13913  df-dvdsr 14038

This theorem is referenced by:  dvdsrid  14049  dvdsrtr  14050  dvdsrmul1  14051  dvdsrneg  14052  unitmulclb  14063  unitgrp  14065  subrguss  14185  subrgunit  14188