Theorem dvdsrmuld 14103

Description: A left-multiple of X is divisible by X. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
dvdsrvald.2	|- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
dvdsrvald.r	|- ( ph -> R e. SRing )
dvdsrvald.3	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
dvdsr2d.x	|- ( ph -> X e. B )
dvdsrmuld.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmuld	|- ( ph -> X .|| ( Y .x. X ) )

Proof of Theorem dvdsrmuld

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr2d.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		dvdsrmuld.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( Y .x. X ) = ( Y .x. X )
4		oveq1 6020	. . . . 5 |- ( z = Y -> ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
5	4	eqeq1d 2238	. . . 4 |- ( z = Y -> ( ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) <-> ( Y .x. X ) = ( Y .x. X ) ) )
6	5	rspcev 2908	. . 3 |- ( ( Y e. B /\ ( Y .x. X ) = ( Y .x. X ) ) -> E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
7	2, 3, 6	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) )
8		dvdsrvald.1	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
9		dvdsrvald.2	. . 3 |- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
10		dvdsrvald.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
11		dvdsrvald.3	. . 3 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
12	8, 9, 10, 11	dvdsrd 14101	. 2 |- ( ph -> ( X .|| ( Y .x. X ) <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = ( Y .x. X ) ) ) )
13	1, 7, 12	mpbir2and 950	1 |- ( ph -> X .|| ( Y .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13075   .rcmulr 13154  SRingcsrg 13969   ||_rcdsr 14092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-0g 13334  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-mgp 13927  df-srg 13970  df-dvdsr 14095

This theorem is referenced by:  dvdsrid  14107  dvdsrtr  14108  dvdsrmul1  14109  dvdsrneg  14110  unitmulclb  14121  unitgrp  14123  subrguss  14243  subrgunit  14246