Theorem rhmdvdsr 13671

Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvdsr.x	|- X = ( Base ` R )
rhmdvdsr.m	|- .|| = ( ||r ` R )
rhmdvdsr.n	|- ./ = ( ||r ` S )

Assertion

Ref	Expression
rhmdvdsr	|- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Proof of Theorem rhmdvdsr

Dummy variables y c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> F e. ( R RingHom S ) )
2		simpl2 1003	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A e. X )
3		rhmdvdsr.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` R )
4		eqid 2193	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
5	3, 4	rhmf 13659	. . . 4 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F : X --> ( Base ` S ) )
6	5	ffvelcdmda 5693	. . 3 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
8		simpll1 1038	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> F e. ( R RingHom S ) )
9		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> c e. X )
10	5	ffvelcdmda 5693	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
12	11	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
13	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> A e. X )
14		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
15		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
16	3, 14, 15	rhmmul 13660	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X /\ A e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
17	8, 9, 13, 16	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
18	17	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A .|| B )
20	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> X = ( Base ` R ) )
21		rhmdvdsr.m	. . . . . . . 8 |- .|| = ( ||r ` R )
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> .|| = ( ||r ` R ) )
23		rhmrcl1 13651	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> R e. Ring )
24	23	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> R e. Ring )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> R e. Ring )
26		ringsrg 13543	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> R e. SRing )
28		eqidd 2194	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
29	20, 22, 27, 28, 2	dvdsr2d 13591	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( A .|| B <-> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
30	19, 29	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B )
31		r19.29 2631	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
32		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( c ( .r ` R ) A ) = B )
34	33	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( F ` B ) )
35	32, 34	eqtr3d 2228	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
36	35	reximi 2591	. . . . . 6 |- ( E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
37	31, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
38	18, 30, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
39		r19.29 2631	. . . 4 |- ( ( A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
40	12, 38, 39	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
41		oveq1 5925	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` c ) -> ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
42	41	eqeq1d 2202	. . . . 5 |- ( y = ( F ` c ) -> ( ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) <-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
43	42	rspcev 2864	. . . 4 |- ( ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
44	43	rexlimivw 2607	. . 3 |- ( E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
45	40, 44	syl 14	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
46		eqidd 2194	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
47		rhmdvdsr.n	. . . 4 |- ./ = ( ||r ` S )
48	47	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ./ = ( ||r ` S ) )
49		rhmrcl2 13652	. . . . . 6 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> S e. Ring )
50	49	3ad2ant1 1020	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> S e. Ring )
51	50	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> S e. Ring )
52		ringsrg 13543	. . . 4 |- ( S e. Ring -> S e. SRing )
53	51, 52	syl 14	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> S e. SRing )
54		eqidd 2194	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( .r ` S ) = ( .r ` S ) )
55	46, 48, 53, 54	dvdsrd 13590	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( ( F ` A ) ./ ( F ` B ) <-> ( ( F ` A ) e. ( Base ` S ) /\ E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) ) )
56	7, 45, 55	mpbir2and 946	1 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   .rcmulr 12696  SRingcsrg 13459   Ringcrg 13492   ||_rcdsr 13582   RingHom crh 13646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-ghm 13311  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-dvdsr 13585  df-rhm 13648

This theorem is referenced by:  elrhmunit  13673