Theorem rhmdvdsr 14052

Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvdsr.x	|- X = ( Base ` R )
rhmdvdsr.m	|- .|| = ( ||r ` R )
rhmdvdsr.n	|- ./ = ( ||r ` S )

Assertion

Ref	Expression
rhmdvdsr	|- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Proof of Theorem rhmdvdsr

Dummy variables y c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1003	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> F e. ( R RingHom S ) )
2		simpl2 1004	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A e. X )
3		rhmdvdsr.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` R )
4		eqid 2207	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
5	3, 4	rhmf 14040	. . . 4 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F : X --> ( Base ` S ) )
6	5	ffvelcdmda 5738	. . 3 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
8		simpll1 1039	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> F e. ( R RingHom S ) )
9		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> c e. X )
10	5	ffvelcdmda 5738	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
12	11	ralrimiva 2581	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
13	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> A e. X )
14		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
15		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
16	3, 14, 15	rhmmul 14041	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X /\ A e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
17	8, 9, 13, 16	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
18	17	ralrimiva 2581	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A .|| B )
20	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> X = ( Base ` R ) )
21		rhmdvdsr.m	. . . . . . . 8 |- .|| = ( ||r ` R )
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> .|| = ( ||r ` R ) )
23		rhmrcl1 14032	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> R e. Ring )
24	23	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> R e. Ring )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> R e. Ring )
26		ringsrg 13924	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> R e. SRing )
28		eqidd 2208	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
29	20, 22, 27, 28, 2	dvdsr2d 13972	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( A .|| B <-> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
30	19, 29	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B )
31		r19.29 2645	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
32		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( c ( .r ` R ) A ) = B )
34	33	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( F ` B ) )
35	32, 34	eqtr3d 2242	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
36	35	reximi 2605	. . . . . 6 |- ( E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
37	31, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
38	18, 30, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
39		r19.29 2645	. . . 4 |- ( ( A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
40	12, 38, 39	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
41		oveq1 5974	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` c ) -> ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
42	41	eqeq1d 2216	. . . . 5 |- ( y = ( F ` c ) -> ( ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) <-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
43	42	rspcev 2884	. . . 4 |- ( ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
44	43	rexlimivw 2621	. . 3 |- ( E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
45	40, 44	syl 14	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
46		eqidd 2208	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
47		rhmdvdsr.n	. . . 4 |- ./ = ( ||r ` S )
48	47	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ./ = ( ||r ` S ) )
49		rhmrcl2 14033	. . . . . 6 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> S e. Ring )
50	49	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> S e. Ring )
51	50	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> S e. Ring )
52		ringsrg 13924	. . . 4 |- ( S e. Ring -> S e. SRing )
53	51, 52	syl 14	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> S e. SRing )
54		eqidd 2208	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( .r ` S ) = ( .r ` S ) )
55	46, 48, 53, 54	dvdsrd 13971	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( ( F ` A ) ./ ( F ` B ) <-> ( ( F ` A ) e. ( Base ` S ) /\ E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) ) )
56	7, 45, 55	mpbir2and 947	1 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   .rcmulr 13025  SRingcsrg 13840   Ringcrg 13873   ||_rcdsr 13963   RingHom crh 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-mhm 13406  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-ghm 13692  df-cmn 13737  df-abl 13738  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-srg 13841  df-ring 13875  df-dvdsr 13966  df-rhm 14029

This theorem is referenced by:  elrhmunit  14054