Theorem rhmdvdsr 14270

Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvdsr.x	|- X = ( Base ` R )
rhmdvdsr.m	|- .|| = ( ||r ` R )
rhmdvdsr.n	|- ./ = ( ||r ` S )

Assertion

Ref	Expression
rhmdvdsr	|- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Proof of Theorem rhmdvdsr

Dummy variables y c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1027	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> F e. ( R RingHom S ) )
2		simpl2 1028	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A e. X )
3		rhmdvdsr.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` R )
4		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
5	3, 4	rhmf 14258	. . . 4 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F : X --> ( Base ` S ) )
6	5	ffvelcdmda 5790	. . 3 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
8		simpll1 1063	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> F e. ( R RingHom S ) )
9		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> c e. X )
10	5	ffvelcdmda 5790	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
12	11	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
13	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> A e. X )
14		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
15		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
16	3, 14, 15	rhmmul 14259	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X /\ A e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
17	8, 9, 13, 16	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
18	17	ralrimiva 2606	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A .|| B )
20	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> X = ( Base ` R ) )
21		rhmdvdsr.m	. . . . . . . 8 |- .|| = ( ||r ` R )
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> .|| = ( ||r ` R ) )
23		rhmrcl1 14250	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> R e. Ring )
24	23	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> R e. Ring )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> R e. Ring )
26		ringsrg 14141	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> R e. SRing )
28		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
29	20, 22, 27, 28, 2	dvdsr2d 14190	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( A .|| B <-> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
30	19, 29	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B )
31		r19.29 2671	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
32		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( c ( .r ` R ) A ) = B )
34	33	fveq2d 5652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( F ` B ) )
35	32, 34	eqtr3d 2266	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
36	35	reximi 2630	. . . . . 6 |- ( E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
37	31, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
38	18, 30, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
39		r19.29 2671	. . . 4 |- ( ( A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
40	12, 38, 39	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
41		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` c ) -> ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
42	41	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( y = ( F ` c ) -> ( ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) <-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
43	42	rspcev 2911	. . . 4 |- ( ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
44	43	rexlimivw 2647	. . 3 |- ( E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
45	40, 44	syl 14	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
46		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
47		rhmdvdsr.n	. . . 4 |- ./ = ( ||r ` S )
48	47	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ./ = ( ||r ` S ) )
49		rhmrcl2 14251	. . . . . 6 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> S e. Ring )
50	49	3ad2ant1 1045	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> S e. Ring )
51	50	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> S e. Ring )
52		ringsrg 14141	. . . 4 |- ( S e. Ring -> S e. SRing )
53	51, 52	syl 14	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> S e. SRing )
54		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( .r ` S ) = ( .r ` S ) )
55	46, 48, 53, 54	dvdsrd 14189	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( ( F ` A ) ./ ( F ` B ) <-> ( ( F ` A ) e. ( Base ` S ) /\ E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) ) )
56	7, 45, 55	mpbir2and 953	1 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   .rcmulr 13241  SRingcsrg 14057   Ringcrg 14090   ||_rcdsr 14180   RingHom crh 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-mhm 13622  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-ghm 13908  df-cmn 13953  df-abl 13954  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-srg 14058  df-ring 14092  df-dvdsr 14183  df-rhm 14247

This theorem is referenced by:  elrhmunit  14272