Theorem rhmdvdsr 13970

Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvdsr.x	|- X = ( Base ` R )
rhmdvdsr.m	|- .|| = ( ||r ` R )
rhmdvdsr.n	|- ./ = ( ||r ` S )

Assertion

Ref	Expression
rhmdvdsr	|- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Proof of Theorem rhmdvdsr

Dummy variables y c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1003	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> F e. ( R RingHom S ) )
2		simpl2 1004	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A e. X )
3		rhmdvdsr.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` R )
4		eqid 2205	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
5	3, 4	rhmf 13958	. . . 4 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F : X --> ( Base ` S ) )
6	5	ffvelcdmda 5717	. . 3 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
8		simpll1 1039	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> F e. ( R RingHom S ) )
9		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> c e. X )
10	5	ffvelcdmda 5717	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
12	11	ralrimiva 2579	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
13	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> A e. X )
14		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
15		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
16	3, 14, 15	rhmmul 13959	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X /\ A e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
17	8, 9, 13, 16	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
18	17	ralrimiva 2579	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A .|| B )
20	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> X = ( Base ` R ) )
21		rhmdvdsr.m	. . . . . . . 8 |- .|| = ( ||r ` R )
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> .|| = ( ||r ` R ) )
23		rhmrcl1 13950	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> R e. Ring )
24	23	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> R e. Ring )
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> R e. Ring )
26		ringsrg 13842	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> R e. SRing )
28		eqidd 2206	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
29	20, 22, 27, 28, 2	dvdsr2d 13890	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( A .|| B <-> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
30	19, 29	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B )
31		r19.29 2643	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
32		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( c ( .r ` R ) A ) = B )
34	33	fveq2d 5582	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( F ` B ) )
35	32, 34	eqtr3d 2240	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
36	35	reximi 2603	. . . . . 6 |- ( E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
37	31, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
38	18, 30, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
39		r19.29 2643	. . . 4 |- ( ( A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
40	12, 38, 39	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
41		oveq1 5953	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` c ) -> ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
42	41	eqeq1d 2214	. . . . 5 |- ( y = ( F ` c ) -> ( ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) <-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
43	42	rspcev 2877	. . . 4 |- ( ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
44	43	rexlimivw 2619	. . 3 |- ( E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
45	40, 44	syl 14	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
46		eqidd 2206	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
47		rhmdvdsr.n	. . . 4 |- ./ = ( ||r ` S )
48	47	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ./ = ( ||r ` S ) )
49		rhmrcl2 13951	. . . . . 6 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> S e. Ring )
50	49	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> S e. Ring )
51	50	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> S e. Ring )
52		ringsrg 13842	. . . 4 |- ( S e. Ring -> S e. SRing )
53	51, 52	syl 14	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> S e. SRing )
54		eqidd 2206	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( .r ` S ) = ( .r ` S ) )
55	46, 48, 53, 54	dvdsrd 13889	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( ( F ` A ) ./ ( F ` B ) <-> ( ( F ` A ) e. ( Base ` S ) /\ E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) ) )
56	7, 45, 55	mpbir2and 947	1 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Basecbs 12865   .rcmulr 12943  SRingcsrg 13758   Ringcrg 13791   ||_rcdsr 13881   RingHom crh 13945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-map 6739  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-0g 13123  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282  df-mhm 13324  df-grp 13368  df-minusg 13369  df-ghm 13610  df-cmn 13655  df-abl 13656  df-mgp 13716  df-ur 13755  df-srg 13759  df-ring 13793  df-dvdsr 13884  df-rhm 13947

This theorem is referenced by:  elrhmunit  13972