Theorem znunit 14936

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )
znunit.l	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunit	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Proof of Theorem znunit

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 14922	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
4		znunit.u	. . . 4 |- U = (Unit ` Y )
5		eqid 2234	. . . 4 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
6		eqid 2234	. . . 4 |- ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y )
7	4, 5, 6	crngunit 14359	. . 3 |- ( Y e. CRing -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
9		eqidd 2235	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
10		eqidd 2235	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y ) )
11		crngring 14254	. . . 4 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
12		ringsrg 14293	. . . 4 |- ( Y e. Ring -> Y e. SRing )
13	3, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. SRing )
14		eqidd 2235	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( .r ` Y ) = ( .r ` Y ) )
15		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16		znunit.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Y )
17	1, 15, 16	znzrhfo 14925	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
19		fof 5595	. . . . 5 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
21		ffvelcdm 5815	. . . 4 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
22	20, 21	sylancom 420	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
23	9, 10, 13, 14, 22	dvdsr2d 14343	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
24		forn 5598	. . . . . 6 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
25	18, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
26	25	rexeqdv 2750	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
27		ffn 5513	. . . . 5 |- ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) -> L Fn ZZ )
28		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( x = ( L ` n ) -> ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
29	28	eqeq1d 2243	. . . . . 6 |- ( x = ( L ` n ) -> ( ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
30	29	rexrn 5819	. . . . 5 |- ( L Fn ZZ -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
31	20, 27, 30	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
32	26, 31	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
33	16	zrhrhm 14900	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
34	3, 11, 33	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
36		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
37		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> A e. ZZ )
38		zringbas 14873	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
39		zringmulr 14876	. . . . . . . 8 |- x. = ( .r ` ℤring )
40		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
41	38, 39, 40	rhmmul 14412	. . . . . . 7 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
42	35, 36, 37, 41	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
43	3, 11	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. Ring )
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> Y e. Ring )
45	16, 5	zrh1 14901	. . . . . . 7 |- ( Y e. Ring -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
47	42, 46	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
48		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> N e. NN0 )
49	36, 37	zmulcld 9727	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
50		1zzd 9624	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
51	1, 16	zndvds 14926	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
53	47, 52	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
54	53	rexbidva 2541	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
55		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
56		nn0z 9617	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
58		gcddvds 12687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
59	55, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || A )
61	55, 57	gcdcld 12692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. NN0 )
62	61	nn0zd 9719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. ZZ )
63	36	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> n e. ZZ )
64		dvdsmultr2 12547	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
65	62, 63, 55, 64	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
66	60, 65	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) )
67	49	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
68		1zzd 9624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
69		peano2zm 9635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n x. A ) e. ZZ -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
71	59	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || N )
72		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) )
73	62, 57, 70, 71, 72	dvdstrd 12544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) )
74		dvdssub2 12549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
75	62, 67, 68, 73, 74	syl31anc 1277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || 1 )
77		dvds1 12567	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) e. NN0 -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
78	61, 77	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
79	76, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) = 1 )
80	79	rexlimdvaa 2663	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) -> ( A gcd N ) = 1 ) )
81		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
82	56	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> N e. ZZ )
83		bezout 12735	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
85		eqeq1 2241	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
86	85	2rexbidv 2569	. . . . . 6 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
87	84, 86	syl5ibcom 155	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
88	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N e. ZZ )
89		dvdsmul1 12527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
90	88, 89	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
91		zmulcl 9651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
92	88, 91	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
93		dvdsnegb 12522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N x. m ) e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
94	88, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
95	90, 94	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || -u ( N x. m ) )
96	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. ZZ )
97	96	zcnd 9722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. CC )
98		zcn 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
99	98	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> n e. CC )
100	97, 99	mulcomd 8311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( A x. n ) = ( n x. A ) )
101	100	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
102	99, 97	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. CC )
103	92	zcnd 9722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. CC )
104	102, 103	subnegd 8608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
105	101, 104	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) )
106	105	oveq2d 6074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) )
107	103	negcld 8588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> -u ( N x. m ) e. CC )
108	102, 107	nncand 8606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
109	106, 108	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
110	95, 109	breqtrrd 4142	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
111		oveq2 6066	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) = ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
112	111	breq2d 4126	. . . . . . . 8 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) ) )
113	110, 112	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
114	113	rexlimdva 2662	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
115	114	reximdva 2646	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
116	87, 115	syld 45	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
117	80, 116	impbid 129	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
118	32, 54, 117	3bitrd 214	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
119	8, 23, 118	3bitrd 214	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   class class class wbr 4114   ran crn 4755   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -onto->wfo 5355   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   - cmin 8461   -ucneg 8462   NN0cn0 9516   ZZcz 9597   || cdvds 12501   gcd cgcd 12677   Basecbs 13299   .rcmulr 13378   1rcur 14205  SRingcsrg 14209   Ringcrg 14242   CRingccrg 14243   ||_rcdsr 14333  Unitcui 14334   RingHom crh 14398  ℤ_ringczring 14867   ZRHomczrh 14888  ℤ/nℤczn 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489  df-recs 6549  df-frec 6635  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-map 6897  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-fl 10657  df-mod 10712  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-dvds 12502  df-gcd 12678  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-starv 13392  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-tset 13396  df-ple 13397  df-ds 13399  df-unif 13400  df-0g 13558  df-topgen 13560  df-iimas 13570  df-qus 13571  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-mhm 13717  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-sbg 13763  df-mulg 13876  df-subg 13926  df-nsg 13927  df-eqg 13928  df-ghm 13997  df-cmn 14042  df-abl 14043  df-mgp 14163  df-rng 14175  df-ur 14206  df-srg 14210  df-ring 14244  df-cring 14245  df-oppr 14314  df-dvdsr 14336  df-unit 14337  df-rhm 14400  df-subrg 14468  df-lmod 14566  df-lssm 14630  df-lsp 14664  df-sra 14712  df-rgmod 14713  df-lidl 14746  df-rsp 14747  df-2idl 14777  df-bl 14823  df-mopn 14824  df-fg 14826  df-metu 14827  df-cnfld 14834  df-zring 14868  df-zrh 14891  df-zn 14893

This theorem is referenced by:  znrrg  14937  lgseisenlem3  16074