Theorem znunit 14676

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )
znunit.l	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunit	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Proof of Theorem znunit

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 14662	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
4		znunit.u	. . . 4 |- U = (Unit ` Y )
5		eqid 2231	. . . 4 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
6		eqid 2231	. . . 4 |- ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y )
7	4, 5, 6	crngunit 14128	. . 3 |- ( Y e. CRing -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
9		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
10		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y ) )
11		crngring 14024	. . . 4 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
12		ringsrg 14063	. . . 4 |- ( Y e. Ring -> Y e. SRing )
13	3, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. SRing )
14		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( .r ` Y ) = ( .r ` Y ) )
15		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16		znunit.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Y )
17	1, 15, 16	znzrhfo 14665	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
19		fof 5559	. . . . 5 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
21		ffvelcdm 5780	. . . 4 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
22	20, 21	sylancom 420	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
23	9, 10, 13, 14, 22	dvdsr2d 14112	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
24		forn 5562	. . . . . 6 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
25	18, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
26	25	rexeqdv 2737	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
27		ffn 5482	. . . . 5 |- ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) -> L Fn ZZ )
28		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( x = ( L ` n ) -> ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
29	28	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( x = ( L ` n ) -> ( ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
30	29	rexrn 5784	. . . . 5 |- ( L Fn ZZ -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
31	20, 27, 30	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
32	26, 31	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
33	16	zrhrhm 14640	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
34	3, 11, 33	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
36		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
37		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> A e. ZZ )
38		zringbas 14613	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
39		zringmulr 14616	. . . . . . . 8 |- x. = ( .r ` ℤring )
40		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
41	38, 39, 40	rhmmul 14181	. . . . . . 7 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
42	35, 36, 37, 41	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
43	3, 11	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. Ring )
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> Y e. Ring )
45	16, 5	zrh1 14641	. . . . . . 7 |- ( Y e. Ring -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
47	42, 46	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
48		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> N e. NN0 )
49	36, 37	zmulcld 9608	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
50		1zzd 9506	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
51	1, 16	zndvds 14666	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
53	47, 52	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
54	53	rexbidva 2529	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
55		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
56		nn0z 9499	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
58		gcddvds 12536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
59	55, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || A )
61	55, 57	gcdcld 12541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. NN0 )
62	61	nn0zd 9600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. ZZ )
63	36	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> n e. ZZ )
64		dvdsmultr2 12396	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
65	62, 63, 55, 64	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
66	60, 65	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) )
67	49	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
68		1zzd 9506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
69		peano2zm 9517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n x. A ) e. ZZ -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
71	59	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || N )
72		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) )
73	62, 57, 70, 71, 72	dvdstrd 12393	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) )
74		dvdssub2 12398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
75	62, 67, 68, 73, 74	syl31anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || 1 )
77		dvds1 12416	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) e. NN0 -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
78	61, 77	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
79	76, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) = 1 )
80	79	rexlimdvaa 2651	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) -> ( A gcd N ) = 1 ) )
81		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
82	56	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> N e. ZZ )
83		bezout 12584	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
85		eqeq1 2238	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
86	85	2rexbidv 2557	. . . . . 6 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
87	84, 86	syl5ibcom 155	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
88	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N e. ZZ )
89		dvdsmul1 12376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
90	88, 89	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
91		zmulcl 9533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
92	88, 91	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
93		dvdsnegb 12371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N x. m ) e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
94	88, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
95	90, 94	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || -u ( N x. m ) )
96	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. ZZ )
97	96	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. CC )
98		zcn 9484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
99	98	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> n e. CC )
100	97, 99	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( A x. n ) = ( n x. A ) )
101	100	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
102	99, 97	mulcld 8200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. CC )
103	92	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. CC )
104	102, 103	subnegd 8497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
105	101, 104	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) )
106	105	oveq2d 6034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) )
107	103	negcld 8477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> -u ( N x. m ) e. CC )
108	102, 107	nncand 8495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
109	106, 108	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
110	95, 109	breqtrrd 4116	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
111		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) = ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
112	111	breq2d 4100	. . . . . . . 8 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) ) )
113	110, 112	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
114	113	rexlimdva 2650	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
115	114	reximdva 2634	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
116	87, 115	syld 45	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
117	80, 116	impbid 129	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
118	32, 54, 117	3bitrd 214	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
119	8, 23, 118	3bitrd 214	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   class class class wbr 4088   ran crn 4726   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -onto->wfo 5324   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   - cmin 8350   -ucneg 8351   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   || cdvds 12350   gcd cgcd 12526   Basecbs 13084   .rcmulr 13163   1rcur 13975  SRingcsrg 13979   Ringcrg 14012   CRingccrg 14013   ||_rcdsr 14102  Unitcui 14103   RingHom crh 14167  ℤ_ringczring 14607   ZRHomczrh 14628  ℤ/nℤczn 14630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-tpos 6411  df-recs 6471  df-frec 6557  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6819  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-dvds 12351  df-gcd 12527  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-starv 13177  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-tset 13181  df-ple 13182  df-ds 13184  df-unif 13185  df-0g 13343  df-topgen 13345  df-iimas 13387  df-qus 13388  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-mhm 13544  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-sbg 13590  df-mulg 13709  df-subg 13759  df-nsg 13760  df-eqg 13761  df-ghm 13830  df-cmn 13875  df-abl 13876  df-mgp 13937  df-rng 13949  df-ur 13976  df-srg 13980  df-ring 14014  df-cring 14015  df-oppr 14084  df-dvdsr 14105  df-unit 14106  df-rhm 14169  df-subrg 14236  df-lmod 14306  df-lssm 14370  df-lsp 14404  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486  df-rsp 14487  df-2idl 14517  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-fg 14566  df-metu 14567  df-cnfld 14574  df-zring 14608  df-zrh 14631  df-zn 14633

This theorem is referenced by:  znrrg  14677  lgseisenlem3  15804