Theorem znunit 14996

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )
znunit.l	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunit	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Proof of Theorem znunit

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 14982	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
4		znunit.u	. . . 4 |- U = (Unit ` Y )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
6		eqid 2238	. . . 4 |- ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y )
7	4, 5, 6	crngunit 14420	. . 3 |- ( Y e. CRing -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
9		eqidd 2239	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
10		eqidd 2239	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y ) )
11		crngring 14314	. . . 4 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
12		ringsrg 14354	. . . 4 |- ( Y e. Ring -> Y e. SRing )
13	3, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. SRing )
14		eqidd 2239	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( .r ` Y ) = ( .r ` Y ) )
15		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16		znunit.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Y )
17	1, 15, 16	znzrhfo 14985	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
19		fof 5615	. . . . 5 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
21		ffvelcdm 5841	. . . 4 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
22	20, 21	sylancom 424	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
23	9, 10, 13, 14, 22	dvdsr2d 14404	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
24		forn 5618	. . . . . 6 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
25	18, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
26	25	rexeqdv 2756	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
27		ffn 5533	. . . . 5 |- ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) -> L Fn ZZ )
28		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( x = ( L ` n ) -> ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
29	28	eqeq1d 2247	. . . . . 6 |- ( x = ( L ` n ) -> ( ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
30	29	rexrn 5845	. . . . 5 |- ( L Fn ZZ -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
31	20, 27, 30	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
32	26, 31	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
33	16	zrhrhm 14960	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
34	3, 11, 33	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
36		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
37		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> A e. ZZ )
38		zringbas 14933	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
39		zringmulr 14936	. . . . . . . 8 |- x. = ( .r ` ℤring )
40		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
41	38, 39, 40	rhmmul 14473	. . . . . . 7 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
42	35, 36, 37, 41	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
43	3, 11	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. Ring )
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> Y e. Ring )
45	16, 5	zrh1 14961	. . . . . . 7 |- ( Y e. Ring -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
47	42, 46	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
48		simpll 531	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> N e. NN0 )
49	36, 37	zmulcld 9776	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
50		1zzd 9673	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
51	1, 16	zndvds 14986	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
53	47, 52	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
54	53	rexbidva 2547	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
55		simplr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
56		nn0z 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
57	56	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
58		gcddvds 12742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
59	55, 57, 58	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || A )
61	55, 57	gcdcld 12747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. NN0 )
62	61	nn0zd 9768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. ZZ )
63	36	adantrr 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> n e. ZZ )
64		dvdsmultr2 12602	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
65	62, 63, 55, 64	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
66	60, 65	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) )
67	49	adantrr 483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
68		1zzd 9673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
69		peano2zm 9684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n x. A ) e. ZZ -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
71	59	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || N )
72		simprr 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) )
73	62, 57, 70, 71, 72	dvdstrd 12599	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) )
74		dvdssub2 12604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
75	62, 67, 68, 73, 74	syl31anc 1281	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || 1 )
77		dvds1 12622	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) e. NN0 -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
78	61, 77	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
79	76, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) = 1 )
80	79	rexlimdvaa 2669	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) -> ( A gcd N ) = 1 ) )
81		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
82	56	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> N e. ZZ )
83		bezout 12790	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
85		eqeq1 2245	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
86	85	2rexbidv 2575	. . . . . 6 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
87	84, 86	syl5ibcom 155	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
88	56	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N e. ZZ )
89		dvdsmul1 12582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
90	88, 89	sylancom 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
91		zmulcl 9700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
92	88, 91	sylancom 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
93		dvdsnegb 12577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N x. m ) e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
94	88, 92, 93	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
95	90, 94	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || -u ( N x. m ) )
96	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. ZZ )
97	96	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. CC )
98		zcn 9651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
99	98	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> n e. CC )
100	97, 99	mulcomd 8347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( A x. n ) = ( n x. A ) )
101	100	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
102	99, 97	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. CC )
103	92	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. CC )
104	102, 103	subnegd 8644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
105	101, 104	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) )
106	105	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) )
107	103	negcld 8624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> -u ( N x. m ) e. CC )
108	102, 107	nncand 8642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
109	106, 108	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
110	95, 109	breqtrrd 4158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
111		oveq2 6093	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) = ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
112	111	breq2d 4142	. . . . . . . 8 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) ) )
113	110, 112	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
114	113	rexlimdva 2668	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
115	114	reximdva 2652	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
116	87, 115	syld 45	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
117	80, 116	impbid 129	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
118	32, 54, 117	3bitrd 214	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
119	8, 23, 118	3bitrd 214	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4130   ran crn 4775   Fn wfn 5372   -->wf 5373   -onto->wfo 5375   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   - cmin 8497   -ucneg 8498   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   || cdvds 12556   gcd cgcd 12732   Basecbs 13354   .rcmulr 13434   1rcur 14264  SRingcsrg 14269   Ringcrg 14302   CRingccrg 14303   ||_rcdsr 14394  Unitcui 14395   RingHom crh 14459  ℤ_ringczring 14927   ZRHomczrh 14948  ℤ/nℤczn 14950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-recs 6576  df-frec 6662  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-map 6924  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-gcd 12733  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-starv 13448  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-unif 13456  df-0g 13614  df-topgen 13616  df-iimas 13626  df-qus 13627  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-mhm 13768  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-sbg 13812  df-mulg 13925  df-subg 13975  df-nsg 13976  df-eqg 13977  df-ghm 14046  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-mgp 14220  df-rng 14234  df-ur 14265  df-srg 14270  df-ring 14304  df-cring 14305  df-oppr 14375  df-dvdsr 14397  df-unit 14398  df-rhm 14461  df-subrg 14529  df-lmod 14627  df-lssm 14692  df-lsp 14726  df-sra 14774  df-rgmod 14775  df-lidl 14808  df-rsp 14809  df-2idl 14839  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-fg 14888  df-metu 14889  df-cnfld 14896  df-zring 14928  df-zrh 14951  df-zn 14953

This theorem is used by:  znrrg  14997  lgseisenlem3  16203