Theorem znunit 14215

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )
znunit.l	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunit	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Proof of Theorem znunit

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 14201	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
4		znunit.u	. . . 4 |- U = (Unit ` Y )
5		eqid 2196	. . . 4 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
6		eqid 2196	. . . 4 |- ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y )
7	4, 5, 6	crngunit 13667	. . 3 |- ( Y e. CRing -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
9		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
10		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y ) )
11		crngring 13564	. . . 4 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
12		ringsrg 13603	. . . 4 |- ( Y e. Ring -> Y e. SRing )
13	3, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. SRing )
14		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( .r ` Y ) = ( .r ` Y ) )
15		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16		znunit.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Y )
17	1, 15, 16	znzrhfo 14204	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
19		fof 5480	. . . . 5 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
21		ffvelcdm 5695	. . . 4 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
22	20, 21	sylancom 420	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
23	9, 10, 13, 14, 22	dvdsr2d 13651	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
24		forn 5483	. . . . . 6 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
25	18, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
26	25	rexeqdv 2700	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
27		ffn 5407	. . . . 5 |- ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) -> L Fn ZZ )
28		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( x = ( L ` n ) -> ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
29	28	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( x = ( L ` n ) -> ( ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
30	29	rexrn 5699	. . . . 5 |- ( L Fn ZZ -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
31	20, 27, 30	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
32	26, 31	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
33	16	zrhrhm 14179	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
34	3, 11, 33	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
36		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
37		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> A e. ZZ )
38		zringbas 14152	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
39		zringmulr 14155	. . . . . . . 8 |- x. = ( .r ` ℤring )
40		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
41	38, 39, 40	rhmmul 13720	. . . . . . 7 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
42	35, 36, 37, 41	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
43	3, 11	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. Ring )
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> Y e. Ring )
45	16, 5	zrh1 14180	. . . . . . 7 |- ( Y e. Ring -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
47	42, 46	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
48		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> N e. NN0 )
49	36, 37	zmulcld 9454	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
50		1zzd 9353	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
51	1, 16	zndvds 14205	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
53	47, 52	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
54	53	rexbidva 2494	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
55		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
56		nn0z 9346	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
58		gcddvds 12130	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
59	55, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || A )
61	55, 57	gcdcld 12135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. NN0 )
62	61	nn0zd 9446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. ZZ )
63	36	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> n e. ZZ )
64		dvdsmultr2 11998	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
65	62, 63, 55, 64	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
66	60, 65	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) )
67	49	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
68		1zzd 9353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
69		peano2zm 9364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n x. A ) e. ZZ -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
71	59	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || N )
72		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) )
73	62, 57, 70, 71, 72	dvdstrd 11995	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) )
74		dvdssub2 12000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
75	62, 67, 68, 73, 74	syl31anc 1252	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || 1 )
77		dvds1 12018	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) e. NN0 -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
78	61, 77	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
79	76, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) = 1 )
80	79	rexlimdvaa 2615	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) -> ( A gcd N ) = 1 ) )
81		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
82	56	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> N e. ZZ )
83		bezout 12178	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
85		eqeq1 2203	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
86	85	2rexbidv 2522	. . . . . 6 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
87	84, 86	syl5ibcom 155	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
88	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N e. ZZ )
89		dvdsmul1 11978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
90	88, 89	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
91		zmulcl 9379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
92	88, 91	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
93		dvdsnegb 11973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N x. m ) e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
94	88, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
95	90, 94	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || -u ( N x. m ) )
96	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. ZZ )
97	96	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. CC )
98		zcn 9331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
99	98	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> n e. CC )
100	97, 99	mulcomd 8048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( A x. n ) = ( n x. A ) )
101	100	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
102	99, 97	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. CC )
103	92	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. CC )
104	102, 103	subnegd 8344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
105	101, 104	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) )
106	105	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) )
107	103	negcld 8324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> -u ( N x. m ) e. CC )
108	102, 107	nncand 8342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
109	106, 108	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
110	95, 109	breqtrrd 4061	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
111		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) = ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
112	111	breq2d 4045	. . . . . . . 8 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) ) )
113	110, 112	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
114	113	rexlimdva 2614	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
115	114	reximdva 2599	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
116	87, 115	syld 45	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
117	80, 116	impbid 129	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
118	32, 54, 117	3bitrd 214	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
119	8, 23, 118	3bitrd 214	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   ran crn 4664   Fn wfn 5253   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   - cmin 8197   -ucneg 8198   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   || cdvds 11952   gcd cgcd 12120   Basecbs 12678   .rcmulr 12756   1rcur 13515  SRingcsrg 13519   Ringcrg 13552   CRingccrg 13553   ||_rcdsr 13642  Unitcui 13643   RingHom crh 13706  ℤ_ringczring 14146   ZRHomczrh 14167  ℤ/nℤczn 14169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-recs 6363  df-frec 6449  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-map 6709  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-topgen 12931  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-mulg 13250  df-subg 13300  df-nsg 13301  df-eqg 13302  df-ghm 13371  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-rng 13489  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-cring 13555  df-oppr 13624  df-dvdsr 13645  df-unit 13646  df-rhm 13708  df-subrg 13775  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025  df-rsp 14026  df-2idl 14056  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-zring 14147  df-zrh 14170  df-zn 14172

This theorem is referenced by:  znrrg  14216  lgseisenlem3  15313