Theorem znunit 14291

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )
znunit.l	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunit	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Proof of Theorem znunit

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 14277	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. CRing )
4		znunit.u	. . . 4 |- U = (Unit ` Y )
5		eqid 2196	. . . 4 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
6		eqid 2196	. . . 4 |- ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y )
7	4, 5, 6	crngunit 13743	. . 3 |- ( Y e. CRing -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
9		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
10		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ||r ` Y ) = ( ||r ` Y ) )
11		crngring 13640	. . . 4 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
12		ringsrg 13679	. . . 4 |- ( Y e. Ring -> Y e. SRing )
13	3, 11, 12	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. SRing )
14		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( .r ` Y ) = ( .r ` Y ) )
15		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16		znunit.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Y )
17	1, 15, 16	znzrhfo 14280	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
19		fof 5483	. . . . 5 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
21		ffvelcdm 5698	. . . 4 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
22	20, 21	sylancom 420	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
23	9, 10, 13, 14, 22	dvdsr2d 13727	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) ( ||r ` Y ) ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
24		forn 5486	. . . . . 6 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
25	18, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ran L = ( Base ` Y ) )
26	25	rexeqdv 2700	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
27		ffn 5410	. . . . 5 |- ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) -> L Fn ZZ )
28		oveq1 5932	. . . . . . 7 |- ( x = ( L ` n ) -> ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
29	28	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( x = ( L ` n ) -> ( ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
30	29	rexrn 5702	. . . . 5 |- ( L Fn ZZ -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
31	20, 27, 30	3syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ran L ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
32	26, 31	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
33	16	zrhrhm 14255	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
34	3, 11, 33	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
36		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
37		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> A e. ZZ )
38		zringbas 14228	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
39		zringmulr 14231	. . . . . . . 8 |- x. = ( .r ` ℤring )
40		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
41	38, 39, 40	rhmmul 13796	. . . . . . 7 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
42	35, 36, 37, 41	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` ( n x. A ) ) = ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) )
43	3, 11	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> Y e. Ring )
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> Y e. Ring )
45	16, 5	zrh1 14256	. . . . . . 7 |- ( Y e. Ring -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
47	42, 46	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
48		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> N e. NN0 )
49	36, 37	zmulcld 9471	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
50		1zzd 9370	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
51	1, 16	zndvds 14281	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( L ` ( n x. A ) ) = ( L ` 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
53	47, 52	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
54	53	rexbidva 2494	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ ( ( L ` n ) ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
55		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
56		nn0z 9363	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
58		gcddvds 12155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
59	55, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A /\ ( A gcd N ) || N ) )
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || A )
61	55, 57	gcdcld 12160	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. NN0 )
62	61	nn0zd 9463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) e. ZZ )
63	36	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> n e. ZZ )
64		dvdsmultr2 12015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ n e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
65	62, 63, 55, 64	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || A -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) ) )
66	60, 65	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( n x. A ) )
67	49	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( n x. A ) e. ZZ )
68		1zzd 9370	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
69		peano2zm 9381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n x. A ) e. ZZ -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) e. ZZ )
71	59	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || N )
72		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) )
73	62, 57, 70, 71, 72	dvdstrd 12012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) )
74		dvdssub2 12017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ ( n x. A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( A gcd N ) || ( ( n x. A ) - 1 ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
75	62, 67, 68, 73, 74	syl31anc 1252	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || ( n x. A ) <-> ( A gcd N ) || 1 ) )
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) || 1 )
77		dvds1 12035	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) e. NN0 -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
78	61, 77	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( ( A gcd N ) || 1 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
79	76, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ ( n e. ZZ /\ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) ) -> ( A gcd N ) = 1 )
80	79	rexlimdvaa 2615	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) -> ( A gcd N ) = 1 ) )
81		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
82	56	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> N e. ZZ )
83		bezout 12203	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) )
85		eqeq1 2203	. . . . . . 7 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
86	85	2rexbidv 2522	. . . . . 6 |- ( ( A gcd N ) = 1 -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ ( A gcd N ) = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) <-> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
87	84, 86	syl5ibcom 155	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
88	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N e. ZZ )
89		dvdsmul1 11995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
90	88, 89	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( N x. m ) )
91		zmulcl 9396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
92	88, 91	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. ZZ )
93		dvdsnegb 11990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N x. m ) e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
94	88, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N || ( N x. m ) <-> N || -u ( N x. m ) ) )
95	90, 94	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || -u ( N x. m ) )
96	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. ZZ )
97	96	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> A e. CC )
98		zcn 9348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
99	98	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> n e. CC )
100	97, 99	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( A x. n ) = ( n x. A ) )
101	100	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
102	99, 97	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( n x. A ) e. CC )
103	92	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( N x. m ) e. CC )
104	102, 103	subnegd 8361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) + ( N x. m ) ) )
105	101, 104	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) = ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) )
106	105	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) )
107	103	negcld 8341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> -u ( N x. m ) e. CC )
108	102, 107	nncand 8359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( n x. A ) - -u ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
109	106, 108	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) = -u ( N x. m ) )
110	95, 109	breqtrrd 4062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
111		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( ( n x. A ) - 1 ) = ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) )
112	111	breq2d 4046	. . . . . . . 8 |- ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> ( N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> N || ( ( n x. A ) - ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) ) ) )
113	110, 112	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) /\ m e. ZZ ) -> ( 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
114	113	rexlimdva 2614	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) /\ n e. ZZ ) -> ( E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
115	114	reximdva 2599	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ E. m e. ZZ 1 = ( ( A x. n ) + ( N x. m ) ) -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
116	87, 115	syld 45	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) ) )
117	80, 116	impbid 129	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. n e. ZZ N || ( ( n x. A ) - 1 ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
118	32, 54, 117	3bitrd 214	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( E. x e. ( Base ` Y ) ( x ( .r ` Y ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
119	8, 23, 118	3bitrd 214	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( L ` A ) e. U <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4034   ran crn 4665   Fn wfn 5254   -->wf 5255   -onto->wfo 5257   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   - cmin 8214   -ucneg 8215   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   || cdvds 11969   gcd cgcd 12145   Basecbs 12703   .rcmulr 12781   1rcur 13591  SRingcsrg 13595   Ringcrg 13628   CRingccrg 13629   ||_rcdsr 13718  Unitcui 13719   RingHom crh 13782  ℤ_ringczring 14222   ZRHomczrh 14243  ℤ/nℤczn 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-recs 6372  df-frec 6458  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-map 6718  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-iimas 13004  df-qus 13005  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-mulg 13326  df-subg 13376  df-nsg 13377  df-eqg 13378  df-ghm 13447  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-rng 13565  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-cring 13631  df-oppr 13700  df-dvdsr 13721  df-unit 13722  df-rhm 13784  df-subrg 13851  df-lmod 13921  df-lssm 13985  df-lsp 14019  df-sra 14067  df-rgmod 14068  df-lidl 14101  df-rsp 14102  df-2idl 14132  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189  df-zring 14223  df-zrh 14246  df-zn 14248

This theorem is referenced by:  znrrg  14292  lgseisenlem3  15397