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Theorem lmbrf 14200
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 14199 presupposes that  F is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmbr2.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmbr2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmbrf.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
lmbrf.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmbrf  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, u, F    j, J, k, u    ph, j, k, u   
j, Z, k, u   
j, M    P, j,
k, u    j, X, k, u
Allowed substitution hints:    A( u, j, k)    M( u, k)

Proof of Theorem lmbrf
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 lmbr2.4 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 lmbr2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
41, 2, 3lmbr2 14199 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
5 3anass 984 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
62uztrn2 9581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
7 lmbrf.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
87eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  A  e.  u ) )
9 lmbrf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
109fdmd 5394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
1110eleq2d 2259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
1211biimpar 297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
1312biantrurd 305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
148, 13bitr3d 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
156, 14sylan2 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1615anassrs 400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1716ralbidva 2486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
1817rexbidva 2487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
1918imbi2d 230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2019ralbidv 2490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2120anbi2d 464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
)  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
22 toponmax 14010 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
231, 22syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
24 cnex 7970 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2523, 24jctir 313 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )
)
26 uzssz 9583 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
27 zsscn 9296 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
2826, 27sstri 3179 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
292, 28eqsstri 3202 . . . . . . 7  |-  Z  C_  CC
309, 29jctir 313 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
31 elpm2r 6696 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
3225, 30, 31syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
3332biantrurd 305 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) ) )
3421, 33bitr2d 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) )  <-> 
( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u ) ) ) )
355, 34bitrid 192 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
364, 35bitrd 188 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   class class class wbr 4021   dom cdm 4647   -->wf 5234   ` cfv 5238  (class class class)co 5900    ^pm cpm 6679   CCcc 7844   ZZcz 9288   ZZ>=cuz 9563  TopOnctopon 13995   ~~> tclm 14172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pm 6681  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-top 13983  df-topon 13996  df-lm 14175
This theorem is referenced by:  lmconst  14201  lmss  14231  txlm  14264
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