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Theorem lmbrf 12165
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 12164 presupposes that  F is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmbr2.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmbr2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmbrf.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
lmbrf.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmbrf  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, u, F    j, J, k, u    ph, j, k, u   
j, Z, k, u   
j, M    P, j,
k, u    j, X, k, u
Allowed substitution hints:    A( u, j, k)    M( u, k)

Proof of Theorem lmbrf
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 lmbr2.4 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 lmbr2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
41, 2, 3lmbr2 12164 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
5 3anass 934 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
62uztrn2 9193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
7 lmbrf.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
87eleq1d 2168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  A  e.  u ) )
9 lmbrf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
109fdmd 5215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
1110eleq2d 2169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
1211biimpar 293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
1312biantrurd 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
148, 13bitr3d 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
156, 14sylan2 282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1615anassrs 395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1716ralbidva 2392 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
1817rexbidva 2393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
1918imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2019ralbidv 2396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2120anbi2d 455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
)  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
22 toponmax 11974 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
231, 22syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
24 cnex 7616 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2523, 24jctir 309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )
)
26 uzssz 9195 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
27 zsscn 8914 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
2826, 27sstri 3056 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
292, 28eqsstri 3079 . . . . . . 7  |-  Z  C_  CC
309, 29jctir 309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
31 elpm2r 6490 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
3225, 30, 31syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
3332biantrurd 301 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) ) )
3421, 33bitr2d 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) )  <-> 
( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u ) ) ) )
355, 34syl5bb 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
364, 35bitrd 187 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641    C_ wss 3021   class class class wbr 3875   dom cdm 4477   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706    ^pm cpm 6473   CCcc 7498   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176  TopOnctopon 11959   ~~> tclm 12138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pm 6475  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-top 11947  df-topon 11960  df-lm 12141
This theorem is referenced by:  lmconst  12166  lmss  12196  txlm  12229
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