Theorem lmbrf 14535

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 14534 presupposes that F is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmbr2.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmbr2.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmbrf.6	|- ( ph -> F : Z --> X )
lmbrf.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
lmbrf	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, u, F   j, J, k, u   ph, j, k, u   j, Z, k, u   j, M   P, j, k, u   j, X, k, u

Allowed substitution hints:   A( u, j, k)   M( u, k)

Proof of Theorem lmbrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		lmbr2.4	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		lmbr2.5	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	1, 2, 3	lmbr2 14534	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
5		3anass 984	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
6	2	uztrn2 9636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
7		lmbrf.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
8	7	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> A e. u ) )
9		lmbrf.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : Z --> X )
10	9	fdmd 5417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom F = Z )
11	10	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. dom F <-> k e. Z ) )
12	11	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
13	12	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
14	8, 13	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
15	6, 14	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
16	15	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
17	16	ralbidva 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
18	17	rexbidva 2494	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
20	19	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
21	20	anbi2d 464	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
22		toponmax 14345	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. J )
24		cnex 8020	. . . . . . 7 |- CC e. _V
25	23, 24	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. J /\ CC e. _V ) )
26		uzssz 9638	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
27		zsscn 9351	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
28	26, 27	sstri 3193	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
29	2, 28	eqsstri 3216	. . . . . . 7 |- Z C_ CC
30	9, 29	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) )
31		elpm2r 6734	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. J /\ CC e. _V ) /\ ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
32	25, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
33	32	biantrurd 305	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) ) )
34	21, 33	bitr2d 189	. . 3 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )
35	5, 34	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )
36	4, 35	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   dom cdm 4664   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^pm cpm 6717   CCcc 7894   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618  TopOnctopon 14330   ~~> tclm 14507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pm 6719  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-top 14318  df-topon 14331  df-lm 14510

This theorem is referenced by:  lmconst  14536  lmss  14566  txlm  14599