Theorem lmbrf 15239

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 15238 presupposes that F is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmbr2.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmbr2.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmbrf.6	|- ( ph -> F : Z --> X )
lmbrf.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
lmbrf	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, u, F   j, J, k, u   ph, j, k, u   j, Z, k, u   j, M   P, j, k, u   j, X, k, u

Allowed substitution hints:   A( u, j, k)   M( u, k)

Proof of Theorem lmbrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		lmbr2.4	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		lmbr2.5	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	1, 2, 3	lmbr2 15238	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
5		3anass 1013	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
6	2	uztrn2 9919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
7		lmbrf.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
8	7	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> A e. u ) )
9		lmbrf.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : Z --> X )
10	9	fdmd 5535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom F = Z )
11	10	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. dom F <-> k e. Z ) )
12	11	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
13	12	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
14	8, 13	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
15	6, 14	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
16	15	anassrs 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
17	16	ralbidva 2546	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
18	17	rexbidva 2547	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
20	19	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
21	20	anbi2d 468	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
22		toponmax 15049	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. J )
24		cnex 8293	. . . . . . 7 |- CC e. _V
25	23, 24	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. J /\ CC e. _V ) )
26		uzssz 9921	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
27		zsscn 9631	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
28	26, 27	sstri 3257	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
29	2, 28	eqsstri 3280	. . . . . . 7 |- Z C_ CC
30	9, 29	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) )
31		elpm2r 6930	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. J /\ CC e. _V ) /\ ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
32	25, 30, 31	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
33	32	biantrurd 305	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) ) )
34	21, 33	bitr2d 189	. . 3 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )
35	5, 34	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )
36	4, 35	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ^pm cpm 6913   CCcc 8167   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900  TopOnctopon 15034   ~~> tclm 15211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pm 6915  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-top 15022  df-topon 15035  df-lm 15214

This theorem is referenced by:  lmconst  15240  lmss  15270  txlm  15303