Theorem lmbrf 14802

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 14801 presupposes that F is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmbr2.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmbr2.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmbrf.6	|- ( ph -> F : Z --> X )
lmbrf.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
lmbrf	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, u, F   j, J, k, u   ph, j, k, u   j, Z, k, u   j, M   P, j, k, u   j, X, k, u

Allowed substitution hints:   A( u, j, k)   M( u, k)

Proof of Theorem lmbrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		lmbr2.4	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		lmbr2.5	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	1, 2, 3	lmbr2 14801	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
5		3anass 985	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
6	2	uztrn2 9701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
7		lmbrf.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
8	7	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> A e. u ) )
9		lmbrf.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : Z --> X )
10	9	fdmd 5452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom F = Z )
11	10	eleq2d 2277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. dom F <-> k e. Z ) )
12	11	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
13	12	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
14	8, 13	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
15	6, 14	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
16	15	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
17	16	ralbidva 2504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
18	17	rexbidva 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
20	19	ralbidv 2508	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
21	20	anbi2d 464	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
22		toponmax 14612	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. J )
24		cnex 8084	. . . . . . 7 |- CC e. _V
25	23, 24	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. J /\ CC e. _V ) )
26		uzssz 9703	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
27		zsscn 9415	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
28	26, 27	sstri 3210	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
29	2, 28	eqsstri 3233	. . . . . . 7 |- Z C_ CC
30	9, 29	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) )
31		elpm2r 6776	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. J /\ CC e. _V ) /\ ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
32	25, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
33	32	biantrurd 305	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) ) )
34	21, 33	bitr2d 189	. . 3 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )
35	5, 34	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )
36	4, 35	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   dom cdm 4693   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ^pm cpm 6759   CCcc 7958   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683  TopOnctopon 14597   ~~> tclm 14774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pm 6761  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-top 14585  df-topon 14598  df-lm 14777

This theorem is referenced by:  lmconst  14803  lmss  14833  txlm  14866