Theorem lmbrf 15026

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 15025 presupposes that F is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmbr2.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmbr2.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmbrf.6	|- ( ph -> F : Z --> X )
lmbrf.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
lmbrf	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, u, F   j, J, k, u   ph, j, k, u   j, Z, k, u   j, M   P, j, k, u   j, X, k, u

Allowed substitution hints:   A( u, j, k)   M( u, k)

Proof of Theorem lmbrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		lmbr2.4	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		lmbr2.5	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	1, 2, 3	lmbr2 15025	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
5		3anass 1009	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
6	2	uztrn2 9835	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
7		lmbrf.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
8	7	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> A e. u ) )
9		lmbrf.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : Z --> X )
10	9	fdmd 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom F = Z )
11	10	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. dom F <-> k e. Z ) )
12	11	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
13	12	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
14	8, 13	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
15	6, 14	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
16	15	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A e. u <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
17	16	ralbidva 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
18	17	rexbidva 2530	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
20	19	ralbidv 2533	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
21	20	anbi2d 464	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
22		toponmax 14836	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. J )
24		cnex 8216	. . . . . . 7 |- CC e. _V
25	23, 24	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. J /\ CC e. _V ) )
26		uzssz 9837	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
27		zsscn 9548	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
28	26, 27	sstri 3237	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
29	2, 28	eqsstri 3260	. . . . . . 7 |- Z C_ CC
30	9, 29	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) )
31		elpm2r 6878	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. J /\ CC e. _V ) /\ ( F : Z --> X /\ Z C_ CC ) ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
32	25, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
33	32	biantrurd 305	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) ) )
34	21, 33	bitr2d 189	. . 3 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )
35	5, 34	bitrid 192	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )
36	4, 35	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A e. u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^pm cpm 6861   CCcc 8090   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816  TopOnctopon 14821   ~~> tclm 14998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pm 6863  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-top 14809  df-topon 14822  df-lm 15001

This theorem is referenced by:  lmconst  15027  lmss  15057  txlm  15090