Theorem flqlelt 10157

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqlelt	|- ( A e. QQ -> ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )

Proof of Theorem flqlelt

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9516	. . 3 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		flval 10153	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
3	2	eqcomd 2163	. . 3 |- ( A e. RR -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. QQ -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) )
5		flqcl 10154	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
6		qbtwnz 10133	. . 3 |- ( A e. QQ -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
7		breq1 3968	. . . . 5 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( x <_ A <-> ( |_ ` A ) <_ A ) )
8		oveq1 5825	. . . . . 6 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( x + 1 ) = ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
9	8	breq2d 3977	. . . . 5 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
10	7, 9	anbi12d 465	. . . 4 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
11	10	riota2 5796	. . 3 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
12	5, 6, 11	syl2anc 409	. 2 |- ( A e. QQ -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
13	4, 12	mpbird 166	1 |- ( A e. QQ -> ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   E!wreu 2437   class class class wbr 3965   ` cfv 5167   iota_crio 5773  (class class class)co 5818   RRcr 7714   1c1 7716   + caddc 7718   < clt 7895   <_ cle 7896   ZZcz 9150   QQcq 9510   |_cfl 10149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-q 9511  df-rp 9543  df-fl 10151

This theorem is referenced by:  flqle  10159  flqltp1  10160  flqltnz  10168