Theorem sqrt2irrap 11894

Description: The square root of 2 is irrational. That is, for any rational number, ( sqr ` 2 ) is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and "the square root of 2 is not rational" which is sqrt2irr 11876. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrap	|- ( Q e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # Q )

Proof of Theorem sqrt2irrap

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9441	. . 3 |- ( Q e. QQ <-> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
2	1	biimpi 119	. 2 |- ( Q e. QQ -> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
3		simplrl 525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> a e. ZZ )
4	3	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. ZZ )
5		simplrr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> b e. NN )
6	5	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. NN )
7		znq 9443	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. NN ) -> ( a / b ) e. QQ )
8		qre 9444	. . . . . . . . 9 |- ( ( a / b ) e. QQ -> ( a / b ) e. RR )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. NN ) -> ( a / b ) e. RR )
10	4, 6, 9	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) e. RR )
11		sqrt2re 11877	. . . . . . . 8 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( sqr ` 2 ) e. RR )
13		0red 7791	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 e. RR )
14	4	zcnd 9198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. CC )
15	6	nncnd 8758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. CC )
16	6	nnap0d 8790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b # 0 )
17	14, 15, 16	divrecapd 8577	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) = ( a x. ( 1 / b ) ) )
18	4	zred 9197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. RR )
19	6	nnrecred 8791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( 1 / b ) e. RR )
20		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a <_ 0 )
21		1red 7805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 1 e. RR )
22	6	nnrpd 9511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. RR+ )
23		0le1 8267	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 <_ 1 )
25	21, 22, 24	divge0d 9554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 <_ ( 1 / b ) )
26		mulle0r 8726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR /\ ( 1 / b ) e. RR ) /\ ( a <_ 0 /\ 0 <_ ( 1 / b ) ) ) -> ( a x. ( 1 / b ) ) <_ 0 )
27	18, 19, 20, 25, 26	syl22anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a x. ( 1 / b ) ) <_ 0 )
28	17, 27	eqbrtrd 3958	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) <_ 0 )
29		2re 8814	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
30		2pos 8835	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
31	29, 30	sqrtgt0ii 10935	. . . . . . . . 9 |- 0 < ( sqr ` 2 )
32	31	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 < ( sqr ` 2 ) )
33	10, 13, 12, 28, 32	lelttrd 7911	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) < ( sqr ` 2 ) )
34	10, 12, 33	gtapd 8423	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
35	3	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> a e. ZZ )
36		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> 0 < a )
37		elnnz 9088	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN <-> ( a e. ZZ /\ 0 < a ) )
38	35, 36, 37	sylanbrc 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> a e. NN )
39	5	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> b e. NN )
40		sqrt2irraplemnn 11893	. . . . . . 7 |- ( ( a e. NN /\ b e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
42		0z 9089	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
43		zlelttric 9123	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
44	42, 43	mpan2 422	. . . . . . . 8 |- ( a e. ZZ -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
45	44	ad2antrl 482	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
46	45	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
47	34, 41, 46	mpjaodan 788	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
48		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> Q = ( a / b ) )
49	47, 48	breqtrrd 3964	. . . 4 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( sqr ` 2 ) # Q )
50	49	ex 114	. . 3 |- ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) -> ( Q = ( a / b ) -> ( sqr ` 2 ) # Q ) )
51	50	rexlimdvva 2560	. 2 |- ( Q e. QQ -> ( E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) -> ( sqr ` 2 ) # Q ) )
52	2, 51	mpd 13	1 |- ( Q e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   x. cmul 7649   < clt 7824   <_ cle 7825   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   ZZcz 9078   QQcq 9438   sqrcsqrt 10800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-2o 6322  df-er 6437  df-en 6643  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-gcd 11672  df-prm 11825

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  13103