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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sqrt2irrap | Unicode version |
Description: The square root of 2 is
irrational. That is, for any rational number,
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Ref | Expression |
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sqrt2irrap |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elq 9635 |
. . 3
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2 | 1 | biimpi 120 |
. 2
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3 | simplrl 535 |
. . . . . . . . 9
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4 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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5 | simplrr 536 |
. . . . . . . . 9
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6 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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7 | znq 9637 |
. . . . . . . . 9
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8 | qre 9638 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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10 | 4, 6, 9 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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11 | sqrt2re 12176 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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13 | 0red 7971 |
. . . . . . . 8
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14 | 4 | zcnd 9389 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 6 | nncnd 8946 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 6 | nnap0d 8978 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 14, 15, 16 | divrecapd 8763 |
. . . . . . . . 9
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18 | 4 | zred 9388 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 6 | nnrecred 8979 |
. . . . . . . . . 10
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20 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 1red 7985 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 6 | nnrpd 9707 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 0le1 8451 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 23 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | 21, 22, 24 | divge0d 9750 |
. . . . . . . . . 10
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26 | mulle0r 8914 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 18, 19, 20, 25, 26 | syl22anc 1249 |
. . . . . . . . 9
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28 | 17, 27 | eqbrtrd 4037 |
. . . . . . . 8
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29 | 2re 9002 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 2pos 9023 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 29, 30 | sqrtgt0ii 11153 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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33 | 10, 13, 12, 28, 32 | lelttrd 8095 |
. . . . . . 7
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34 | 10, 12, 33 | gtapd 8607 |
. . . . . 6
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35 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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36 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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37 | elnnz 9276 |
. . . . . . . 8
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38 | 35, 36, 37 | sylanbrc 417 |
. . . . . . 7
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39 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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40 | sqrt2irraplemnn 12192 |
. . . . . . 7
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41 | 38, 39, 40 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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42 | 0z 9277 |
. . . . . . . . 9
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43 | zlelttric 9311 |
. . . . . . . . 9
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44 | 42, 43 | mpan2 425 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | ad2antrl 490 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | adantr 276 |
. . . . . 6
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47 | 34, 41, 46 | mpjaodan 799 |
. . . . 5
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48 | simpr 110 |
. . . . 5
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49 | 47, 48 | breqtrrd 4043 |
. . . 4
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50 | 49 | ex 115 |
. . 3
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51 | 50 | rexlimdvva 2612 |
. 2
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52 | 2, 51 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 ax-arch 7943 ax-caucvg 7944 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-xor 1386 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-frec 6405 df-1o 6430 df-2o 6431 df-er 6548 df-en 6754 df-sup 6996 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-2 8991 df-3 8992 df-4 8993 df-n0 9190 df-z 9267 df-uz 9542 df-q 9633 df-rp 9667 df-fz 10022 df-fzo 10156 df-fl 10283 df-mod 10336 df-seqfrec 10459 df-exp 10533 df-cj 10864 df-re 10865 df-im 10866 df-rsqrt 11020 df-abs 11021 df-dvds 11808 df-gcd 11957 df-prm 12121 |
This theorem is referenced by: 2irrexpqap 14636 |
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