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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sqrt2irrap | Unicode version |
Description: The square root of 2 is
irrational. That is, for any rational number,
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Ref | Expression |
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sqrt2irrap |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elq 9640 |
. . 3
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2 | 1 | biimpi 120 |
. 2
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3 | simplrl 535 |
. . . . . . . . 9
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4 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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5 | simplrr 536 |
. . . . . . . . 9
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6 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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7 | znq 9642 |
. . . . . . . . 9
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8 | qre 9643 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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10 | 4, 6, 9 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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11 | sqrt2re 12181 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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13 | 0red 7976 |
. . . . . . . 8
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14 | 4 | zcnd 9394 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 6 | nncnd 8951 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 6 | nnap0d 8983 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 14, 15, 16 | divrecapd 8768 |
. . . . . . . . 9
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18 | 4 | zred 9393 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 6 | nnrecred 8984 |
. . . . . . . . . 10
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20 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 1red 7990 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 6 | nnrpd 9712 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 0le1 8456 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 23 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | 21, 22, 24 | divge0d 9755 |
. . . . . . . . . 10
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26 | mulle0r 8919 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 18, 19, 20, 25, 26 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . 9
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28 | 17, 27 | eqbrtrd 4040 |
. . . . . . . 8
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29 | 2re 9007 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 2pos 9028 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 29, 30 | sqrtgt0ii 11158 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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33 | 10, 13, 12, 28, 32 | lelttrd 8100 |
. . . . . . 7
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34 | 10, 12, 33 | gtapd 8612 |
. . . . . 6
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35 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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36 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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37 | elnnz 9281 |
. . . . . . . 8
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38 | 35, 36, 37 | sylanbrc 417 |
. . . . . . 7
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39 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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40 | sqrt2irraplemnn 12197 |
. . . . . . 7
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41 | 38, 39, 40 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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42 | 0z 9282 |
. . . . . . . . 9
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43 | zlelttric 9316 |
. . . . . . . . 9
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44 | 42, 43 | mpan2 425 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | ad2antrl 490 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | adantr 276 |
. . . . . 6
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47 | 34, 41, 46 | mpjaodan 799 |
. . . . 5
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48 | simpr 110 |
. . . . 5
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49 | 47, 48 | breqtrrd 4046 |
. . . 4
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50 | 49 | ex 115 |
. . 3
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51 | 50 | rexlimdvva 2615 |
. 2
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52 | 2, 51 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7920 ax-resscn 7921 ax-1cn 7922 ax-1re 7923 ax-icn 7924 ax-addcl 7925 ax-addrcl 7926 ax-mulcl 7927 ax-mulrcl 7928 ax-addcom 7929 ax-mulcom 7930 ax-addass 7931 ax-mulass 7932 ax-distr 7933 ax-i2m1 7934 ax-0lt1 7935 ax-1rid 7936 ax-0id 7937 ax-rnegex 7938 ax-precex 7939 ax-cnre 7940 ax-pre-ltirr 7941 ax-pre-ltwlin 7942 ax-pre-lttrn 7943 ax-pre-apti 7944 ax-pre-ltadd 7945 ax-pre-mulgt0 7946 ax-pre-mulext 7947 ax-arch 7948 ax-caucvg 7949 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-recs 6324 df-frec 6410 df-1o 6435 df-2o 6436 df-er 6553 df-en 6759 df-sup 7001 df-pnf 8012 df-mnf 8013 df-xr 8014 df-ltxr 8015 df-le 8016 df-sub 8148 df-neg 8149 df-reap 8550 df-ap 8557 df-div 8648 df-inn 8938 df-2 8996 df-3 8997 df-4 8998 df-n0 9195 df-z 9272 df-uz 9547 df-q 9638 df-rp 9672 df-fz 10027 df-fzo 10161 df-fl 10288 df-mod 10341 df-seqfrec 10464 df-exp 10538 df-cj 10869 df-re 10870 df-im 10871 df-rsqrt 11025 df-abs 11026 df-dvds 11813 df-gcd 11962 df-prm 12126 |
This theorem is referenced by: 2irrexpqap 14793 |
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