Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrap Unicode version

Theorem sqrt2irrap 11650
 Description: The square root of 2 is irrational. That is, for any rational number, is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and "the square root of 2 is not rational" which is sqrt2irr 11633. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrap #

Proof of Theorem sqrt2irrap
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9264 . . 3
21biimpi 119 . 2
3 simplrl 505 . . . . . . . . 9
43adantr 272 . . . . . . . 8
5 simplrr 506 . . . . . . . . 9
65adantr 272 . . . . . . . 8
7 znq 9266 . . . . . . . . 9
8 qre 9267 . . . . . . . . 9
97, 8syl 14 . . . . . . . 8
104, 6, 9syl2anc 406 . . . . . . 7
11 sqrt2re 11634 . . . . . . . 8
1211a1i 9 . . . . . . 7
13 0red 7639 . . . . . . . 8
144zcnd 9026 . . . . . . . . . 10
156nncnd 8592 . . . . . . . . . 10
166nnap0d 8624 . . . . . . . . . 10 #
1714, 15, 16divrecapd 8414 . . . . . . . . 9
184zred 9025 . . . . . . . . . 10
196nnrecred 8625 . . . . . . . . . 10
20 simpr 109 . . . . . . . . . 10
21 1red 7653 . . . . . . . . . . 11
226nnrpd 9329 . . . . . . . . . . 11
23 0le1 8110 . . . . . . . . . . . 12
2423a1i 9 . . . . . . . . . . 11
2521, 22, 24divge0d 9371 . . . . . . . . . 10
26 mulle0r 8560 . . . . . . . . . 10
2718, 19, 20, 25, 26syl22anc 1185 . . . . . . . . 9
2817, 27eqbrtrd 3895 . . . . . . . 8
29 2re 8648 . . . . . . . . . 10
30 2pos 8669 . . . . . . . . . 10
3129, 30sqrtgt0ii 10743 . . . . . . . . 9
3231a1i 9 . . . . . . . 8
3310, 13, 12, 28, 32lelttrd 7758 . . . . . . 7
3410, 12, 33gtapd 8264 . . . . . 6 #
353adantr 272 . . . . . . . 8
36 simpr 109 . . . . . . . 8
37 elnnz 8916 . . . . . . . 8
3835, 36, 37sylanbrc 411 . . . . . . 7
395adantr 272 . . . . . . 7
40 sqrt2irraplemnn 11649 . . . . . . 7 #
4138, 39, 40syl2anc 406 . . . . . 6 #
42 0z 8917 . . . . . . . . 9
43 zlelttric 8951 . . . . . . . . 9
4442, 43mpan2 419 . . . . . . . 8
4544ad2antrl 477 . . . . . . 7
4645adantr 272 . . . . . 6
4734, 41, 46mpjaodan 753 . . . . 5 #
48 simpr 109 . . . . 5
4947, 48breqtrrd 3901 . . . 4 #
5049ex 114 . . 3 #
5150rexlimdvva 2516 . 2 #
522, 51mpd 13 1 #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wo 670   wceq 1299   wcel 1448  wrex 2376   class class class wbr 3875  cfv 5059  (class class class)co 5706  cr 7499  cc0 7500  c1 7501   cmul 7505   clt 7672   cle 7673   # cap 8209   cdiv 8293  cn 8578  c2 8629  cz 8906  cq 9261  csqrt 10608 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-xor 1322  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-1o 6243  df-2o 6244  df-er 6359  df-en 6565  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-fl 9884  df-mod 9937  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-dvds 11289  df-gcd 11431  df-prm 11582 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator