Theorem sqrt2irrap 12348

Description: The square root of 2 is irrational. That is, for any rational number, ( sqr ` 2 ) is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and "the square root of 2 is not rational" which is sqrt2irr 12330. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrap	|- ( Q e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # Q )

Proof of Theorem sqrt2irrap

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9696	. . 3 |- ( Q e. QQ <-> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( Q e. QQ -> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
3		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> a e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. ZZ )
5		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> b e. NN )
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. NN )
7		znq 9698	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. NN ) -> ( a / b ) e. QQ )
8		qre 9699	. . . . . . . . 9 |- ( ( a / b ) e. QQ -> ( a / b ) e. RR )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. NN ) -> ( a / b ) e. RR )
10	4, 6, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) e. RR )
11		sqrt2re 12331	. . . . . . . 8 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( sqr ` 2 ) e. RR )
13		0red 8027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 e. RR )
14	4	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. CC )
15	6	nncnd 9004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. CC )
16	6	nnap0d 9036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b # 0 )
17	14, 15, 16	divrecapd 8820	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) = ( a x. ( 1 / b ) ) )
18	4	zred 9448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. RR )
19	6	nnrecred 9037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( 1 / b ) e. RR )
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a <_ 0 )
21		1red 8041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 1 e. RR )
22	6	nnrpd 9769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. RR+ )
23		0le1 8508	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 <_ 1 )
25	21, 22, 24	divge0d 9812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 <_ ( 1 / b ) )
26		mulle0r 8971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR /\ ( 1 / b ) e. RR ) /\ ( a <_ 0 /\ 0 <_ ( 1 / b ) ) ) -> ( a x. ( 1 / b ) ) <_ 0 )
27	18, 19, 20, 25, 26	syl22anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a x. ( 1 / b ) ) <_ 0 )
28	17, 27	eqbrtrd 4055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) <_ 0 )
29		2re 9060	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
30		2pos 9081	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
31	29, 30	sqrtgt0ii 11296	. . . . . . . . 9 |- 0 < ( sqr ` 2 )
32	31	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 < ( sqr ` 2 ) )
33	10, 13, 12, 28, 32	lelttrd 8151	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) < ( sqr ` 2 ) )
34	10, 12, 33	gtapd 8664	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
35	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> a e. ZZ )
36		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> 0 < a )
37		elnnz 9336	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN <-> ( a e. ZZ /\ 0 < a ) )
38	35, 36, 37	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> a e. NN )
39	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> b e. NN )
40		sqrt2irraplemnn 12347	. . . . . . 7 |- ( ( a e. NN /\ b e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
42		0z 9337	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
43		zlelttric 9371	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
44	42, 43	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( a e. ZZ -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
45	44	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
46	45	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
47	34, 41, 46	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
48		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> Q = ( a / b ) )
49	47, 48	breqtrrd 4061	. . . 4 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( sqr ` 2 ) # Q )
50	49	ex 115	. . 3 |- ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) -> ( Q = ( a / b ) -> ( sqr ` 2 ) # Q ) )
51	50	rexlimdvva 2622	. 2 |- ( Q e. QQ -> ( E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) -> ( sqr ` 2 ) # Q ) )
52	2, 51	mpd 13	1 |- ( Q e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   # cap 8608   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   ZZcz 9326   QQcq 9693   sqrcsqrt 11161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  15214