Theorem sqrt2irrap 12688

Description: The square root of 2 is irrational. That is, for any rational number, ( sqr ` 2 ) is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and "the square root of 2 is not rational" which is sqrt2irr 12670. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrap	|- ( Q e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # Q )

Proof of Theorem sqrt2irrap

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9805	. . 3 |- ( Q e. QQ <-> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( Q e. QQ -> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
3		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> a e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. ZZ )
5		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> b e. NN )
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. NN )
7		znq 9807	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. NN ) -> ( a / b ) e. QQ )
8		qre 9808	. . . . . . . . 9 |- ( ( a / b ) e. QQ -> ( a / b ) e. RR )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. NN ) -> ( a / b ) e. RR )
10	4, 6, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) e. RR )
11		sqrt2re 12671	. . . . . . . 8 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( sqr ` 2 ) e. RR )
13		0red 8135	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 e. RR )
14	4	zcnd 9558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. CC )
15	6	nncnd 9112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. CC )
16	6	nnap0d 9144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b # 0 )
17	14, 15, 16	divrecapd 8928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) = ( a x. ( 1 / b ) ) )
18	4	zred 9557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. RR )
19	6	nnrecred 9145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( 1 / b ) e. RR )
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a <_ 0 )
21		1red 8149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 1 e. RR )
22	6	nnrpd 9878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. RR+ )
23		0le1 8616	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 <_ 1 )
25	21, 22, 24	divge0d 9921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 <_ ( 1 / b ) )
26		mulle0r 9079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR /\ ( 1 / b ) e. RR ) /\ ( a <_ 0 /\ 0 <_ ( 1 / b ) ) ) -> ( a x. ( 1 / b ) ) <_ 0 )
27	18, 19, 20, 25, 26	syl22anc 1272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a x. ( 1 / b ) ) <_ 0 )
28	17, 27	eqbrtrd 4104	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) <_ 0 )
29		2re 9168	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
30		2pos 9189	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
31	29, 30	sqrtgt0ii 11628	. . . . . . . . 9 |- 0 < ( sqr ` 2 )
32	31	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 < ( sqr ` 2 ) )
33	10, 13, 12, 28, 32	lelttrd 8259	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) < ( sqr ` 2 ) )
34	10, 12, 33	gtapd 8772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
35	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> a e. ZZ )
36		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> 0 < a )
37		elnnz 9444	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN <-> ( a e. ZZ /\ 0 < a ) )
38	35, 36, 37	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> a e. NN )
39	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> b e. NN )
40		sqrt2irraplemnn 12687	. . . . . . 7 |- ( ( a e. NN /\ b e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
42		0z 9445	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
43		zlelttric 9479	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
44	42, 43	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( a e. ZZ -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
45	44	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
46	45	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
47	34, 41, 46	mpjaodan 803	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
48		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> Q = ( a / b ) )
49	47, 48	breqtrrd 4110	. . . 4 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( sqr ` 2 ) # Q )
50	49	ex 115	. . 3 |- ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) -> ( Q = ( a / b ) -> ( sqr ` 2 ) # Q ) )
51	50	rexlimdvva 2656	. 2 |- ( Q e. QQ -> ( E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) -> ( sqr ` 2 ) # Q ) )
52	2, 51	mpd 13	1 |- ( Q e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4082   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   RRcr 7986   0cc0 7987   1c1 7988   x. cmul 7992   < clt 8169   <_ cle 8170   # cap 8716   / cdiv 8807   NNcn 9098   2c2 9149   ZZcz 9434   QQcq 9802   sqrcsqrt 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-2o 6553  df-er 6670  df-en 6878  df-sup 7139  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-dvds 12285  df-gcd 12461  df-prm 12616

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  15637