Theorem sqrt2irrap 12134

Description: The square root of 2 is irrational. That is, for any rational number, ( sqr ` 2 ) is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and "the square root of 2 is not rational" which is sqrt2irr 12116. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrap	|- ( Q e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # Q )

Proof of Theorem sqrt2irrap

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9581	. . 3 |- ( Q e. QQ <-> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
2	1	biimpi 119	. 2 |- ( Q e. QQ -> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
3		simplrl 530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> a e. ZZ )
4	3	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. ZZ )
5		simplrr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> b e. NN )
6	5	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. NN )
7		znq 9583	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. NN ) -> ( a / b ) e. QQ )
8		qre 9584	. . . . . . . . 9 |- ( ( a / b ) e. QQ -> ( a / b ) e. RR )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. NN ) -> ( a / b ) e. RR )
10	4, 6, 9	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) e. RR )
11		sqrt2re 12117	. . . . . . . 8 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( sqr ` 2 ) e. RR )
13		0red 7921	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 e. RR )
14	4	zcnd 9335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. CC )
15	6	nncnd 8892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. CC )
16	6	nnap0d 8924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b # 0 )
17	14, 15, 16	divrecapd 8710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) = ( a x. ( 1 / b ) ) )
18	4	zred 9334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a e. RR )
19	6	nnrecred 8925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( 1 / b ) e. RR )
20		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> a <_ 0 )
21		1red 7935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 1 e. RR )
22	6	nnrpd 9651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> b e. RR+ )
23		0le1 8400	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 <_ 1 )
25	21, 22, 24	divge0d 9694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 <_ ( 1 / b ) )
26		mulle0r 8860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR /\ ( 1 / b ) e. RR ) /\ ( a <_ 0 /\ 0 <_ ( 1 / b ) ) ) -> ( a x. ( 1 / b ) ) <_ 0 )
27	18, 19, 20, 25, 26	syl22anc 1234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a x. ( 1 / b ) ) <_ 0 )
28	17, 27	eqbrtrd 4011	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) <_ 0 )
29		2re 8948	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
30		2pos 8969	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
31	29, 30	sqrtgt0ii 11095	. . . . . . . . 9 |- 0 < ( sqr ` 2 )
32	31	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> 0 < ( sqr ` 2 ) )
33	10, 13, 12, 28, 32	lelttrd 8044	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( a / b ) < ( sqr ` 2 ) )
34	10, 12, 33	gtapd 8556	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ a <_ 0 ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
35	3	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> a e. ZZ )
36		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> 0 < a )
37		elnnz 9222	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN <-> ( a e. ZZ /\ 0 < a ) )
38	35, 36, 37	sylanbrc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> a e. NN )
39	5	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> b e. NN )
40		sqrt2irraplemnn 12133	. . . . . . 7 |- ( ( a e. NN /\ b e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) /\ 0 < a ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
42		0z 9223	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
43		zlelttric 9257	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
44	42, 43	mpan2 423	. . . . . . . 8 |- ( a e. ZZ -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
45	44	ad2antrl 487	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
46	45	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( a <_ 0 \/ 0 < a ) )
47	34, 41, 46	mpjaodan 793	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( sqr ` 2 ) # ( a / b ) )
48		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> Q = ( a / b ) )
49	47, 48	breqtrrd 4017	. . . 4 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> ( sqr ` 2 ) # Q )
50	49	ex 114	. . 3 |- ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) -> ( Q = ( a / b ) -> ( sqr ` 2 ) # Q ) )
51	50	rexlimdvva 2595	. 2 |- ( Q e. QQ -> ( E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) -> ( sqr ` 2 ) # Q ) )
52	2, 51	mpd 13	1 |- ( Q e. QQ -> ( sqr ` 2 ) # Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   # cap 8500   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   QQcq 9578   sqrcsqrt 10960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  13690