Theorem apbtwnz 10343

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number which is apart from all integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
apbtwnz	|- ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Distinct variable group:   A, n, x

Proof of Theorem apbtwnz

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) -> A e. RR )
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ A < m ) -> A < m )
3	2	olcd 735	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ A < m ) -> ( m <_ A \/ A < m ) )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> m e. ZZ )
5	4	zred 9439	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> m e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> m e. RR )
7	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> A e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> A e. RR )
9		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> m < A )
10	6, 8, 9	ltled 8138	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> m <_ A )
11	10	orcd 734	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> ( m <_ A \/ A < m ) )
12		breq2 4033	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( A # n <-> A # m ) )
13		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> A. n e. ZZ A # n )
14	12, 13, 4	rspcdva 2869	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> A # m )
15		reaplt 8607	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ m e. RR ) -> ( A # m <-> ( A < m \/ m < A ) ) )
16	7, 5, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> ( A # m <-> ( A < m \/ m < A ) ) )
17	14, 16	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> ( A < m \/ m < A ) )
18	3, 11, 17	mpjaodan 799	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ A \/ A < m ) )
19	1, 18	exbtwnzlemex 10318	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
20	19, 1	exbtwnz 10319	1 |- ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2164   A.wral 2472   E!wreu 2474   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   # cap 8600   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  flapcl  10344