Theorem apbtwnz 10040

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number which is apart from all integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
apbtwnz	|- ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Distinct variable group:   A, n, x

Proof of Theorem apbtwnz

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) -> A e. RR )
2		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ A < m ) -> A < m )
3	2	olcd 723	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ A < m ) -> ( m <_ A \/ A < m ) )
4		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> m e. ZZ )
5	4	zred 9166	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> m e. RR )
6	5	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> m e. RR )
7	1	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> A e. RR )
8	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> A e. RR )
9		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> m < A )
10	6, 8, 9	ltled 7874	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> m <_ A )
11	10	orcd 722	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) /\ m < A ) -> ( m <_ A \/ A < m ) )
12		breq2 3928	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( A # n <-> A # m ) )
13		simplr 519	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> A. n e. ZZ A # n )
14	12, 13, 4	rspcdva 2789	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> A # m )
15		reaplt 8343	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ m e. RR ) -> ( A # m <-> ( A < m \/ m < A ) ) )
16	7, 5, 15	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> ( A # m <-> ( A < m \/ m < A ) ) )
17	14, 16	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> ( A < m \/ m < A ) )
18	3, 11, 17	mpjaodan 787	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ A \/ A < m ) )
19	1, 18	exbtwnzlemex 10020	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) -> E. x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
20	19, 1	exbtwnz 10021	1 |- ( ( A e. RR /\ A. n e. ZZ A # n ) -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   e. wcel 1480   A.wral 2414   E!wreu 2416   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   1c1 7614   + caddc 7616   < clt 7793   <_ cle 7794   # cap 8336   ZZcz 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-arch 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048

This theorem is referenced by:  flapcl  10041