Theorem fzval3 10274

Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzval3	|- ( N e. ZZ -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )

Proof of Theorem fzval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9356	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
2		fzoval 10217	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( M..^ ( N + 1 ) ) = ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ ( N + 1 ) ) = ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
4		zcn 9325	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5		ax-1cn 7967	. . . 4 |- 1 e. CC
6		pncan 8227	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
8	7	oveq2d 5935	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... N ) )
9	3, 8	eqtr2d 2227	1 |- ( N e. ZZ -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   CCcc 7872   1c1 7875   + caddc 7877   - cmin 8192   ZZcz 9320   ...cfz 10077  ..^cfzo 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212

This theorem is referenced by:  fzosn  10275  fzofzp1  10297  fzisfzounsn  10306  seq3f1olemp  10589  fzosump1  11563  telfsum  11614  telfsum2  11615  cvgratnnlemsumlt  11674  cvgcmp2nlemabs  15592