Theorem resunimafz0 10902

Description: The union of a restriction by an image over an open range of nonnegative integers and a singleton of an ordered pair is a restriction by an image over an interval of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resunimafz0.i	|- ( ph -> Fun I )
resunimafz0.f	|- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
resunimafz0.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resunimafz0	|- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) = ( ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) u. { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } ) )

Proof of Theorem resunimafz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaundi 5078	. . . . 5 |- ( F " ( ( 0..^ N ) u. { N } ) ) = ( ( F " ( 0..^ N ) ) u. ( F " { N } ) )
2		resunimafz0.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
3		elfzonn0 10253	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N e. NN0 )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
5		elnn0uz 9630	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
7		fzisfzounsn 10303	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0 ... N ) = ( ( 0..^ N ) u. { N } ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0..^ N ) u. { N } ) )
9	8	imaeq2d 5005	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " ( 0 ... N ) ) = ( F " ( ( 0..^ N ) u. { N } ) ) )
10		resunimafz0.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
11	10	ffnd 5404	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
12		fnsnfv 5616	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) -> { ( F ` N ) } = ( F " { N } ) )
13	11, 2, 12	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( F ` N ) } = ( F " { N } ) )
14	13	uneq2d 3313	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F " ( 0..^ N ) ) u. { ( F ` N ) } ) = ( ( F " ( 0..^ N ) ) u. ( F " { N } ) ) )
15	1, 9, 14	3eqtr4a 2252	. . . 4 |- ( ph -> ( F " ( 0 ... N ) ) = ( ( F " ( 0..^ N ) ) u. { ( F ` N ) } ) )
16	15	reseq2d 4942	. . 3 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) = ( I |` ( ( F " ( 0..^ N ) ) u. { ( F ` N ) } ) ) )
17		resundi 4955	. . 3 |- ( I |` ( ( F " ( 0..^ N ) ) u. { ( F ` N ) } ) ) = ( ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) u. ( I |` { ( F ` N ) } ) )
18	16, 17	eqtrdi 2242	. 2 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) = ( ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) u. ( I |` { ( F ` N ) } ) ) )
19		resunimafz0.i	. . . . 5 |- ( ph -> Fun I )
20		funfn 5284	. . . . 5 |- ( Fun I <-> I Fn dom I )
21	19, 20	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> I Fn dom I )
22	10, 2	ffvelcdmd 5694	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` N ) e. dom I )
23		fnressn 5744	. . . 4 |- ( ( I Fn dom I /\ ( F ` N ) e. dom I ) -> ( I |` { ( F ` N ) } ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( I |` { ( F ` N ) } ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
25	24	uneq2d 3313	. 2 |- ( ph -> ( ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) u. ( I |` { ( F ` N ) } ) ) = ( ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) u. { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } ) )
26	18, 25	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) = ( ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) u. { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   {csn 3618   <.cop 3621   dom cdm 4659   |` cres 4661   "cima 4662   Fun wfun 5248   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   NN0cn0 9240   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208  ♯chash 10846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by: (None)