ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzss1 GIF version

Theorem fzss1 9477
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 9436 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
2 id 19 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3 uztrn 9035 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
41, 2, 3syl2anr 284 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 elfzuz3 9437 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
65adantl 271 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
7 elfzuzb 9434 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑘)))
84, 6, 7sylanbrc 408 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
98ex 113 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
109ssrdv 3031 1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1438  wss 2999  cfv 5015  (class class class)co 5652  cuz 9019  ...cfz 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-pre-ltwlin 7458
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-neg 7656  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425
This theorem is referenced by:  fzssnn  9482  fzp1ss  9487  ige2m1fz  9524  fzoss1  9582  fzossnn0  9586  isermono  9906  iseqsplit  9908  iseqf1olemnab  9917  bcpasc  10174  mertenslemi1  10929  structfn  11513  strleund  11581  strleun  11582
  Copyright terms: Public domain W3C validator