Theorem fzss1 10138

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss1	⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10096	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		uztrn 9618	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		elfzuz3 10097	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
7		elfzuzb 10094	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
9	8	ex 115	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
10	9	ssrdv 3189	1 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltwlin 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  fzssnn  10143  fzp1ss  10148  ige2m1fz  10185  fzoss1  10247  fzossnn0  10251  ser3mono  10579  seqsplitg  10581  iseqf1olemnab  10593  seqf1oglem2  10612  bcpasc  10858  mertenslemi1  11700  reumodprminv  12422  structfn  12697  strleund  12781  strleun  12782  ply1termlem  14978  dvply1  15001  gausslemma2dlem3  15304  2lgslem1a  15329