Theorem fzss2 10401

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	|- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10358	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
3		elfzuz3 10359	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` k ) )
4		uztrn 9874	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
5	3, 4	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6		elfzuzb 10356	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
7	2, 5, 6	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( M ... N ) )
8	7	ex 115	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( M ... N ) ) )
9	8	ssrdv 3246	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   C_ wss 3213   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-pre-ltwlin 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-neg 8449  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  fzssp1  10404  elfz0add  10458  fzoss2  10512  seqsplitg  10855  seqcaopr2g  10860  iseqf1olemnab  10867  seqf1oglem2a  10884  seqf1oglem2  10886  seqhomog  10896  bcm1k  11126  seq3coll  11218  fsum0diaglem  12130  fisum0diag2  12137  mertenslemi1  12225  prodfrecap  12236  pcfac  13052  strleund  13333  strleun  13334  strext  13335  plyaddlem1  15629  plymullem1  15630  plycoeid3  15639  gausslemma2dlem2  15952  lgsquadlem3  15969  wlkres  16391