Theorem fzss2 10448

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	|- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10403	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
3		elfzuz3 10404	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` k ) )
4		uztrn 9918	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
5	3, 4	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6		elfzuzb 10401	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
7	2, 5, 6	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( M ... N ) )
8	7	ex 115	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( M ... N ) ) )
9	8	ssrdv 3254	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltwlin 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fzssp1  10451  elfz0add  10505  fzoss2  10559  seqsplitg  10904  seqcaopr2g  10909  iseqf1olemnab  10916  seqf1oglem2a  10933  seqf1oglem2  10935  seqhomog  10945  bcm1k  11176  seq3coll  11272  fsum0diaglem  12185  fisum0diag2  12192  mertenslemi1  12280  prodfrecap  12291  pcfac  13107  ballotfilemimin  13227  ballotfilemsdom  13233  ballotfilemsel1i  13234  ballotfilemsima  13237  ballotfilemfrc  13248  ballotfilemfrceq  13250  strleund  13434  strleun  13435  strext  13436  plyaddlem1  15771  plymullem1  15772  plycoeid3  15781  gausslemma2dlem2  16095  lgsquadlem3  16112  wlkres  16534