ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzss2 Unicode version

Theorem fzss2 9799
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 9757 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... K )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
21adantl 275 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 elfzuz3 9758 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  k )
)
4 uztrn 9298 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
53, 4sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
6 elfzuzb 9755 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
72, 5, 6sylanbrc 413 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
87ex 114 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( k  e.  ( M ... K
)  ->  k  e.  ( M ... N ) ) )
98ssrdv 3073 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465    C_ wss 3041   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   ZZ>=cuz 9282   ...cfz 9745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltwlin 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-neg 7904  df-z 9013  df-uz 9283  df-fz 9746
This theorem is referenced by:  fzssp1  9802  elfz0add  9855  fzoss2  9904  iseqf1olemnab  10216  bcm1k  10461  seq3coll  10540  fsum0diaglem  11164  fisum0diag2  11171  mertenslemi1  11259  strleund  11958  strleun  11959
  Copyright terms: Public domain W3C validator