Theorem fzss2 10256

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	|- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10213	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
3		elfzuz3 10214	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` k ) )
4		uztrn 9735	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
5	3, 4	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6		elfzuzb 10211	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
7	2, 5, 6	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( M ... N ) )
8	7	ex 115	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( M ... N ) ) )
9	8	ssrdv 3230	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   C_ wss 3197   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-pre-ltwlin 8108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-neg 8316  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201

This theorem is referenced by:  fzssp1  10259  elfz0add  10312  fzoss2  10366  seqsplitg  10706  seqcaopr2g  10711  iseqf1olemnab  10718  seqf1oglem2a  10735  seqf1oglem2  10737  seqhomog  10747  bcm1k  10977  seq3coll  11059  fsum0diaglem  11946  fisum0diag2  11953  mertenslemi1  12041  prodfrecap  12052  pcfac  12868  strleund  13131  strleun  13132  strext  13133  plyaddlem1  15415  plymullem1  15416  plycoeid3  15425  gausslemma2dlem2  15735  lgsquadlem3  15752