Theorem elfzuz3 10435

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10432	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simprbi 275	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ZZ>=cuz 9930   ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422

This theorem is used by:  elfzel2  10436  elfzle2  10442  peano2fzr  10451  fzsplit2  10465  fzsplit  10466  fzsplit3  10468  fznn0sub  10473  fzopth  10477  fzss1  10479  fzss2  10480  fzp1elp1  10492  fzosplit  10596  fzoend  10650  fzofzp1b  10656  seq3fveq2  10925  seqfveq2g  10927  monoord  10935  seqsplitg  10939  iseqf1olemnab  10951  seq3f1olemqsum  10963  seqf1oglem2  10970  seq3id2  10976  seq3z  10978  seqhomog  10980  bcval5  11215  seq3coll  11308  swrdval2  11437  pfxres  11467  pfxf  11468  fisum0diag2  12230  pcbc  13150  ballotfilemsima  13308  ballotfilemfrc  13319  ballotfilemfrceq  13321  ppiqsval2  16157  dvdsppwf1o  16184  wlkres  16718