Theorem elfzuz3 10408

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10405	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simprbi 275	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   ZZ>=cuz 9904   ...cfz 10394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-neg 8494  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is used by:  elfzel2  10409  elfzle2  10415  peano2fzr  10424  fzsplit2  10438  fzsplit  10439  fzsplit3  10441  fznn0sub  10446  fzopth  10450  fzss1  10452  fzss2  10453  fzp1elp1  10465  fzosplit  10569  fzoend  10623  fzofzp1b  10629  seq3fveq2  10895  seqfveq2g  10897  monoord  10905  seqsplitg  10909  iseqf1olemnab  10921  seq3f1olemqsum  10933  seqf1oglem2  10940  seq3id2  10946  seq3z  10948  seqhomog  10950  bcval5  11184  seq3coll  11277  swrdval2  11406  pfxres  11436  pfxf  11437  fisum0diag2  12197  pcbc  13113  ballotfilemsima  13242  ballotfilemfrc  13253  ballotfilemfrceq  13255  dvdsppwf1o  16086  wlkres  16603