Theorem elfzuz3 10407

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10404	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simprbi 275	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   ZZ>=cuz 9903   ...cfz 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-neg 8493  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394

This theorem is referenced by:  elfzel2  10408  elfzle2  10414  peano2fzr  10423  fzsplit2  10436  fzsplit  10437  fzsplit3  10439  fznn0sub  10444  fzopth  10448  fzss1  10450  fzss2  10451  fzp1elp1  10463  fzosplit  10567  fzoend  10621  fzofzp1b  10627  seq3fveq2  10893  seqfveq2g  10895  monoord  10903  seqsplitg  10907  iseqf1olemnab  10919  seq3f1olemqsum  10931  seqf1oglem2  10938  seq3id2  10944  seq3z  10946  seqhomog  10948  bcval5  11182  seq3coll  11275  swrdval2  11404  pfxres  11434  pfxf  11435  fisum0diag2  12195  pcbc  13111  ballotfilemsima  13240  ballotfilemfrc  13251  ballotfilemfrceq  13253  dvdsppwf1o  16020  wlkres  16537