Theorem elfzuz3 10247

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10244	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simprbi 275	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  elfzel2  10248  elfzle2  10253  peano2fzr  10262  fzsplit2  10275  fzsplit  10276  fznn0sub  10282  fzopth  10286  fzss1  10288  fzss2  10289  fzp1elp1  10300  fzosplit  10404  fzoend  10457  fzofzp1b  10463  seq3fveq2  10727  seqfveq2g  10729  monoord  10737  seqsplitg  10741  iseqf1olemnab  10753  seq3f1olemqsum  10765  seqf1oglem2  10772  seq3id2  10778  seq3z  10780  seqhomog  10782  bcval5  11015  seq3coll  11096  swrdval2  11222  pfxres  11252  pfxf  11253  fisum0diag2  11998  pcbc  12914  dvdsppwf1o  15703  wlkres  16174