Theorem elfzuz3 9796

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 9793	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simprbi 273	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-neg 7929  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784

This theorem is referenced by:  elfzel2  9797  elfzle2  9801  peano2fzr  9810  fzsplit2  9823  fzsplit  9824  fznn0sub  9830  fzopth  9834  fzss1  9836  fzss2  9837  fzp1elp1  9848  fzosplit  9947  fzoend  9992  fzofzp1b  9998  seq3fveq2  10235  monoord  10242  iseqf1olemnab  10254  seq3f1olemqsum  10266  seq3id2  10275  seq3z  10277  bcval5  10502  seq3coll  10578  fisum0diag2  11209