Theorem elfzuz3 10359

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10356	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simprbi 275	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-neg 8449  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  elfzel2  10360  elfzle2  10365  peano2fzr  10374  fzsplit2  10387  fzsplit  10388  fznn0sub  10394  fzopth  10398  fzss1  10400  fzss2  10401  fzp1elp1  10413  fzosplit  10517  fzoend  10571  fzofzp1b  10577  seq3fveq2  10841  seqfveq2g  10843  monoord  10851  seqsplitg  10855  iseqf1olemnab  10867  seq3f1olemqsum  10879  seqf1oglem2  10886  seq3id2  10892  seq3z  10894  seqhomog  10896  bcval5  11129  seq3coll  11218  swrdval2  11347  pfxres  11377  pfxf  11378  fisum0diag2  12137  pcbc  13053  dvdsppwf1o  15874  wlkres  16391