Theorem elfzuz3 10260

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	|- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10257	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2	1	simprbi 275	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   ZZ>=cuz 9758   ...cfz 10246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-neg 8356  df-z 9483  df-uz 9759  df-fz 10247

This theorem is referenced by:  elfzel2  10261  elfzle2  10266  peano2fzr  10275  fzsplit2  10288  fzsplit  10289  fznn0sub  10295  fzopth  10299  fzss1  10301  fzss2  10302  fzp1elp1  10313  fzosplit  10417  fzoend  10471  fzofzp1b  10477  seq3fveq2  10741  seqfveq2g  10743  monoord  10751  seqsplitg  10755  iseqf1olemnab  10767  seq3f1olemqsum  10779  seqf1oglem2  10786  seq3id2  10792  seq3z  10794  seqhomog  10796  bcval5  11029  seq3coll  11110  swrdval2  11239  pfxres  11269  pfxf  11270  fisum0diag2  12029  pcbc  12945  dvdsppwf1o  15740  wlkres  16257