ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  telfsum2 Unicode version

Theorem telfsum2 11448
Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsum.1  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
telfsum.2  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
telfsum.3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
telfsum.4  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  A  =  E )
telfsum.5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
telfsum.6  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
telfsum.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
telfsum2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) ( C  -  B
)  =  ( E  -  D ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    j, k, M    j, N, k    ph, j, k    D, k   
k, E
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)

Proof of Theorem telfsum2
StepHypRef Expression
1 telfsum.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2 fzval3 10177 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M ... N )  =  ( M..^ ( N  +  1 ) ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( M..^ ( N  +  1 ) ) )
43sumeq1d 11345 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) ( C  -  B
)  =  sum_ j  e.  ( M..^ ( N  +  1 ) ) ( C  -  B
) )
5 telfsum.1 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
6 telfsum.2 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
7 telfsum.3 . . 3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
8 telfsum.4 . . 3  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  A  =  E )
9 telfsum.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 telfsum.7 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
115, 6, 7, 8, 9, 10telfsumo2 11446 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ ( N  + 
1 ) ) ( C  -  B )  =  ( E  -  D ) )
124, 11eqtrd 2210 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) ( C  -  B
)  =  ( E  -  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   CCcc 7787   1c1 7790    + caddc 7792    - cmin 8105   ZZcz 9229   ZZ>=cuz 9504   ...cfz 9982  ..^cfzo 10115   sum_csu 11332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-ihash 10727  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258  df-sumdc 11333
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator