Theorem imsub 11426

Description: Imaginary part distributes over subtraction. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A - B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )

Proof of Theorem imsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8367	. . . 4 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2		imadd 11425	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( Im ` ( A + -u B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` -u B ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + -u B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` -u B ) ) )
4		imneg 11424	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Im ` -u B ) = -u ( Im ` B ) )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` -u B ) = -u ( Im ` B ) )
6	5	oveq2d 6027	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` -u B ) ) = ( ( Im ` A ) + -u ( Im ` B ) ) )
7	3, 6	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + -u B ) ) = ( ( Im ` A ) + -u ( Im ` B ) ) )
8		negsub 8415	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
9	8	fveq2d 5637	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + -u B ) ) = ( Im ` ( A - B ) ) )
10		imcl 11402	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
11	10	recnd 8196	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
12		imcl 11402	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
13	12	recnd 8196	. . 3 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. CC )
14		negsub 8415	. . 3 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + -u ( Im ` B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
15	11, 13, 14	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + -u ( Im ` B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
16	7, 9, 15	3eqtr3d 2270	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A - B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   CCcc 8018   + caddc 8023   - cmin 8338   -ucneg 8339   Imcim 11389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-pre-mulext 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-ap 8750  df-div 8841  df-2 9190  df-cj 11390  df-re 11391  df-im 11392

This theorem is referenced by:  imsubd  11510  imcn2  11866