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Theorem imsub 10618
Description: Imaginary part distributes over subtraction. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
imsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )

Proof of Theorem imsub
StepHypRef Expression
1 negcl 7930 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
2 imadd 10617 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  -u B
) )  =  ( ( Im `  A
)  +  ( Im
`  -u B ) ) )
31, 2sylan2 284 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  -u B ) ) )
4 imneg 10616 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
54adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  -u B
)  =  -u (
Im `  B )
)
65oveq2d 5758 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  -u B
) )  =  ( ( Im `  A
)  +  -u (
Im `  B )
) )
73, 6eqtrd 2150 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( Im `  A )  +  -u ( Im `  B ) ) )
8 negsub 7978 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
98fveq2d 5393 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  -u B ) )  =  ( Im
`  ( A  -  B ) ) )
10 imcl 10594 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1110recnd 7762 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
12 imcl 10594 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1312recnd 7762 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
14 negsub 7978 . . 3  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Im `  A )  +  -u ( Im `  B ) )  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
1511, 13, 14syl2an 287 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  +  -u ( Im `  B ) )  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
167, 9, 153eqtr3d 2158 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586    + caddc 7591    - cmin 7901   -ucneg 7902   Imcim 10581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-2 8747  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584
This theorem is referenced by:  imsubd  10702  imcn2  11055
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