Theorem imsub 11438

Description: Imaginary part distributes over subtraction. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A - B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )

Proof of Theorem imsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8378	. . . 4 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2		imadd 11437	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( Im ` ( A + -u B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` -u B ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + -u B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` -u B ) ) )
4		imneg 11436	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Im ` -u B ) = -u ( Im ` B ) )
5	4	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` -u B ) = -u ( Im ` B ) )
6	5	oveq2d 6033	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` -u B ) ) = ( ( Im ` A ) + -u ( Im ` B ) ) )
7	3, 6	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + -u B ) ) = ( ( Im ` A ) + -u ( Im ` B ) ) )
8		negsub 8426	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
9	8	fveq2d 5643	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + -u B ) ) = ( Im ` ( A - B ) ) )
10		imcl 11414	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
11	10	recnd 8207	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
12		imcl 11414	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
13	12	recnd 8207	. . 3 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. CC )
14		negsub 8426	. . 3 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + -u ( Im ` B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
15	11, 13, 14	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + -u ( Im ` B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
16	7, 9, 15	3eqtr3d 2272	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A - B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   + caddc 8034   - cmin 8349   -ucneg 8350   Imcim 11401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-2 9201  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404

This theorem is referenced by:  imsubd  11522  imcn2  11878