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Theorem imadd 10918
Description: Imaginary part distributes over addition. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imadd |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
Proof of Theorem imadd
StepHypRef Expression
1 recl 10894 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
21adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
32recnd 8016 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
4 ax-icn 7936 . . . . . 6 |- _i e. CC
5 imcl 10895 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
65adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
76recnd 8016 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
8 mulcl 7968 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
94, 7, 8sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10 recl 10894 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
1110adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
1211recnd 8016 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
13 imcl 10895 . . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
1413adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
1514recnd 8016 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
16 mulcl 7968 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
174, 15, 16sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
183, 9, 12, 17add4d 8156 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
19 replim 10900 . . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
20 replim 10900 . . . . 5 |- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2119, 20oveqan12d 5915 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
224a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
2322, 7, 15adddid 8012 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2423oveq2d 5912 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2232 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) )
2625fveq2d 5538 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( Im ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) )
27 readdcl 7967 . . . 4 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Re ` B ) e. RR ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
281, 10, 27syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
29 readdcl 7967 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
305, 13, 29syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
31 crim 10899 . . 3 |- ( ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 411 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
3326, 32eqtrd 2222 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   _ici 7843   + caddc 7844   x. cmul 7846   Recre 10881   Imcim 10882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-2 9008  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885
This theorem is referenced by:  imsub  10919  cjadd  10925  imaddi  10970  imaddd  11001  fsumim  11513  gzaddcl  12409
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