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Theorem imadd 10841
Description: Imaginary part distributes over addition. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imadd |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
Proof of Theorem imadd
StepHypRef Expression
1 recl 10817 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
21adantr 274 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
32recnd 7948 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
4 ax-icn 7869 . . . . . 6 |- _i e. CC
5 imcl 10818 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
65adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
76recnd 7948 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
8 mulcl 7901 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
94, 7, 8sylancr 412 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10 recl 10817 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
1110adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
1211recnd 7948 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
13 imcl 10818 . . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
1413adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
1514recnd 7948 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
16 mulcl 7901 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
174, 15, 16sylancr 412 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
183, 9, 12, 17add4d 8088 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
19 replim 10823 . . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
20 replim 10823 . . . . 5 |- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2119, 20oveqan12d 5872 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
224a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
2322, 7, 15adddid 7944 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2423oveq2d 5869 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2213 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) )
2625fveq2d 5500 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( Im ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) )
27 readdcl 7900 . . . 4 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Re ` B ) e. RR ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
281, 10, 27syl2an 287 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
29 readdcl 7900 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
305, 13, 29syl2an 287 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
31 crim 10822 . . 3 |- ( ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 409 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
3326, 32eqtrd 2203 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   _ici 7776   + caddc 7777   x. cmul 7779   Recre 10804   Imcim 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808
This theorem is referenced by:  imsub  10842  cjadd  10848  imaddi  10893  imaddd  10924  fsumim  11436  gzaddcl  12329
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