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Theorem imadd 10442
Description: Imaginary part distributes over addition. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imadd |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
Proof of Theorem imadd
StepHypRef Expression
1 recl 10418 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
21adantr 271 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
32recnd 7613 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
4 ax-icn 7537 . . . . . 6 |- _i e. CC
5 imcl 10419 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
65adantr 271 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
76recnd 7613 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
8 mulcl 7566 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
94, 7, 8sylancr 406 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10 recl 10418 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
1110adantl 272 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
1211recnd 7613 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
13 imcl 10419 . . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
1413adantl 272 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
1514recnd 7613 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
16 mulcl 7566 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
174, 15, 16sylancr 406 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
183, 9, 12, 17add4d 7748 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
19 replim 10424 . . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
20 replim 10424 . . . . 5 |- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2119, 20oveqan12d 5709 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
224a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
2322, 7, 15adddid 7609 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2423oveq2d 5706 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2137 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) )
2625fveq2d 5344 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( Im ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) )
27 readdcl 7565 . . . 4 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Re ` B ) e. RR ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
281, 10, 27syl2an 284 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
29 readdcl 7565 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
305, 13, 29syl2an 284 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
31 crim 10423 . . 3 |- ( ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 404 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
3326, 32eqtrd 2127 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   e. wcel 1445   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445   RRcr 7446   _ici 7449   + caddc 7450   x. cmul 7452   Recre 10405   Imcim 10406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-2 8579  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409
This theorem is referenced by:  imsub  10443  cjadd  10449  imaddi  10494  imaddd  10525  fsumim  11032
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