ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imsub GIF version

Theorem imsub 10662
Description: Imaginary part distributes over subtraction. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
imsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))

Proof of Theorem imsub
StepHypRef Expression
1 negcl 7974 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2 imadd 10661 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘-𝐵)))
31, 2sylan2 284 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘-𝐵)))
4 imneg 10660 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
54adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
65oveq2d 5790 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘-𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + -(ℑ‘𝐵)))
73, 6eqtrd 2172 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + -(ℑ‘𝐵)))
8 negsub 8022 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
98fveq2d 5425 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + -𝐵)) = (ℑ‘(𝐴𝐵)))
10 imcl 10638 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 7806 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12 imcl 10638 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
1312recnd 7806 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14 negsub 8022 . . 3 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + -(ℑ‘𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
1511, 13, 14syl2an 287 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + -(ℑ‘𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
167, 9, 153eqtr3d 2180 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630   + caddc 7635  cmin 7945  -cneg 7946  cim 10625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-2 8791  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628
This theorem is referenced by:  imsubd  10746  imcn2  11099
  Copyright terms: Public domain W3C validator