Theorem imneg 10680

Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imneg	|- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )

Proof of Theorem imneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10657	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 7818	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 7739	. . . . . 6 |- _i e. CC
4		imcl 10658	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 7818	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 7771	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 411	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	negdid 8110	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9		replim 10663	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
10	9	negeqd 7981	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u A = -u ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
11		mulneg2 8182	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
12	3, 5, 11	sylancr 411	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
13	12	oveq2d 5798	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2183	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A = ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
15	14	fveq2d 5433	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = ( Im ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) )
16	1	renegcld 8166	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Re ` A ) e. RR )
17	4	renegcld 8166	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
18		crim 10662	. . 3 |- ( ( -u ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( Im ` A ) e. RR ) -> ( Im ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 409	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
20	15, 19	eqtrd 2173	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   _ici 7646   + caddc 7647   x. cmul 7649   -ucneg 7958   Recre 10644   Imcim 10645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-2 8803  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648

This theorem is referenced by:  imsub  10682  cjneg  10694  imnegi  10729  imnegd  10759