Theorem imneg 10274

Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imneg	|- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )

Proof of Theorem imneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10251	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 7495	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 7419	. . . . . 6 |- _i e. CC
4		imcl 10252	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 7495	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 7448	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 405	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	negdid 7785	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9		replim 10257	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
10	9	negeqd 7656	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u A = -u ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
11		mulneg2 7853	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
12	3, 5, 11	sylancr 405	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
13	12	oveq2d 5650	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2130	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A = ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
15	14	fveq2d 5293	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = ( Im ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) )
16	1	renegcld 7837	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Re ` A ) e. RR )
17	4	renegcld 7837	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
18		crim 10256	. . 3 |- ( ( -u ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( Im ` A ) e. RR ) -> ( Im ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 403	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` ( -u ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
20	15, 19	eqtrd 2120	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   e. wcel 1438   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   _ici 7331   + caddc 7332   x. cmul 7334   -ucneg 7633   Recre 10238   Imcim 10239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-2 8452  df-cj 10240  df-re 10241  df-im 10242

This theorem is referenced by:  imsub  10276  cjneg  10288  imnegi  10323  imnegd  10353