Theorem imcl 11326

Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imcl	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )

Proof of Theorem imcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imre 11323	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )
2		negicn 8310	. . . 4 |- -u _i e. CC
3		mulcl 8089	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
5		recl 11325	. . 3 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( Re ` ( -u _i x. A ) ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( -u _i x. A ) ) e. RR )
7	1, 6	eqeltrd 2284	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   CCcc 7960   RRcr 7961   _ici 7964   x. cmul 7967   -ucneg 8281   Recre 11312   Imcim 11313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-2 9132  df-cj 11314  df-re 11315  df-im 11316

This theorem is referenced by:  imf  11328  remim  11332  mulreap  11336  cjreb  11338  recj  11339  reneg  11340  readd  11341  remullem  11343  remul2  11345  imcj  11347  imneg  11348  imadd  11349  imsub  11350  immul2  11352  imdivap  11353  cjcj  11355  cjadd  11356  ipcnval  11358  cjmulval  11360  cjmulge0  11361  cjneg  11362  imval2  11366  cnrecnv  11382  imcli  11384  imcld  11411  cnreim  11450  abs00ap  11534  absrele  11555  efeul  12206  absef  12242  absefib  12243  efieq1re  12244