Theorem imcl 11569

Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imcl	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )

Proof of Theorem imcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imre 11566	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )
2		negicn 8493	. . . 4 |- -u _i e. CC
3		mulcl 8272	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
5		recl 11568	. . 3 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( Re ` ( -u _i x. A ) ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( -u _i x. A ) ) e. RR )
7	1, 6	eqeltrd 2311	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   CCcc 8143   RRcr 8144   _ici 8147   x. cmul 8150   -ucneg 8464   Recre 11555   Imcim 11556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-2 9318  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559

This theorem is referenced by:  imf  11571  remim  11575  mulreap  11579  cjreb  11581  recj  11582  reneg  11583  readd  11584  remullem  11586  remul2  11588  imcj  11590  imneg  11591  imadd  11592  imsub  11593  immul2  11595  imdivap  11596  cjcj  11598  cjadd  11599  ipcnval  11601  cjmulval  11603  cjmulge0  11604  cjneg  11605  imval2  11609  sq01  11610  cnrecnv  11626  imcli  11628  imcld  11655  cnreim  11694  abs00ap  11778  absrele  11799  efeul  12451  absef  12487  absefib  12488  efieq1re  12489