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Theorem ipcnval 11413
Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ipcnval |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
Proof of Theorem ipcnval
StepHypRef Expression
1 cjcl 11375 . . 3 |- ( B e. CC -> ( * ` B ) e. CC )
2 remul 11399 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` B ) e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` ( * ` B ) ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) ) )
31, 2sylan2 286 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` ( * ` B ) ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) ) )
4 recj 11394 . . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` ( * ` B ) ) = ( Re ` B ) )
54adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( * ` B ) ) = ( Re ` B ) )
65oveq2d 6023 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` ( * ` B ) ) ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) )
7 imcj 11402 . . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Im ` ( * ` B ) ) = -u ( Im ` B ) )
87adantl 277 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( * ` B ) ) = -u ( Im ` B ) )
98oveq2d 6023 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) = ( ( Im ` A ) x. -u ( Im ` B ) ) )
10 imcl 11381 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
1110recnd 8186 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
12 imcl 11381 . . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
1312recnd 8186 . . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. CC )
14 mulneg2 8553 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. -u ( Im ` B ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
1511, 13, 14syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. -u ( Im ` B ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
169, 15eqtrd 2262 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
176, 16oveq12d 6025 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` ( * ` B ) ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
18 recl 11380 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
1918recnd 8186 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
20 recl 11380 . . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
2120recnd 8186 . . . 4 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. CC )
22 mulcl 8137 . . . 4 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
2319, 21, 22syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
24 mulcl 8137 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
2511, 13, 24syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
2623, 25subnegd 8475 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
273, 17, 263eqtrd 2266 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   + caddc 8013   x. cmul 8015   - cmin 8328   -ucneg 8329   *ccj 11366   Recre 11367   Imcim 11368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-2 9180  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371
This theorem is referenced by:  cjmulval  11415  ipcni  11461  ipcnd  11494
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