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Theorem ipcnval 10499
Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ipcnval |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
Proof of Theorem ipcnval
StepHypRef Expression
1 cjcl 10461 . . 3 |- ( B e. CC -> ( * ` B ) e. CC )
2 remul 10485 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` B ) e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` ( * ` B ) ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) ) )
31, 2sylan2 282 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` ( * ` B ) ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) ) )
4 recj 10480 . . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` ( * ` B ) ) = ( Re ` B ) )
54adantl 273 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( * ` B ) ) = ( Re ` B ) )
65oveq2d 5722 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` ( * ` B ) ) ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) )
7 imcj 10488 . . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Im ` ( * ` B ) ) = -u ( Im ` B ) )
87adantl 273 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( * ` B ) ) = -u ( Im ` B ) )
98oveq2d 5722 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) = ( ( Im ` A ) x. -u ( Im ` B ) ) )
10 imcl 10467 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
1110recnd 7666 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
12 imcl 10467 . . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
1312recnd 7666 . . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. CC )
14 mulneg2 8025 . . . . 5 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. -u ( Im ` B ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
1511, 13, 14syl2an 285 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. -u ( Im ` B ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
169, 15eqtrd 2132 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) )
176, 16oveq12d 5724 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` ( * ` B ) ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` ( * ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
18 recl 10466 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
1918recnd 7666 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
20 recl 10466 . . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
2120recnd 7666 . . . 4 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. CC )
22 mulcl 7619 . . . 4 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
2319, 21, 22syl2an 285 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC )
24 mulcl 7619 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
2511, 13, 24syl2an 285 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC )
2623, 25subnegd 7951 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
273, 17, 263eqtrd 2136 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1299   e. wcel 1448   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   CCcc 7498   + caddc 7503   x. cmul 7505   - cmin 7804   -ucneg 7805   *ccj 10452   Recre 10453   Imcim 10454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-2 8637  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457
This theorem is referenced by:  cjmulval  10501  ipcni  10547  ipcnd  10580
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