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Theorem ipcnval 10670
Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ipcnval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )

Proof of Theorem ipcnval
StepHypRef Expression
1 cjcl 10632 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  e.  CC )
2 remul 10656 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  B
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  ( * `  B ) ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  (
* `  B )
) ) ) )
31, 2sylan2 284 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  ( * `  B
) ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  ( * `  B ) ) ) ) )
4 recj 10651 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  B ) )  =  ( Re `  B
) )
54adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
* `  B )
)  =  ( Re
`  B ) )
65oveq2d 5790 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  ( * `  B ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) )
7 imcj 10659 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  B ) )  = 
-u ( Im `  B ) )
87adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  (
* `  B )
)  =  -u (
Im `  B )
)
98oveq2d 5790 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  ( * `  B ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  x.  -u ( Im `  B
) ) )
10 imcl 10638 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1110recnd 7806 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
12 imcl 10638 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1312recnd 7806 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
14 mulneg2 8170 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Im `  A )  x.  -u (
Im `  B )
)  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
1511, 13, 14syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  -u (
Im `  B )
)  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
169, 15eqtrd 2172 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  ( * `  B ) ) )  =  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )
176, 16oveq12d 5792 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  (
* `  B )
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  ( * `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
18 recl 10637 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1918recnd 7806 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
20 recl 10637 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
2120recnd 7806 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
22 mulcl 7759 . . . 4  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
2319, 21, 22syl2an 287 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
24 mulcl 7759 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2511, 13, 24syl2an 287 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2623, 25subnegd 8092 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
273, 17, 263eqtrd 2176 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630    + caddc 7635    x. cmul 7637    - cmin 7945   -ucneg 7946   *ccj 10623   Recre 10624   Imcim 10625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-2 8791  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628
This theorem is referenced by:  cjmulval  10672  ipcni  10718  ipcnd  10751
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