Theorem ipcnval 11596

Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ipcnval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Proof of Theorem ipcnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 11558	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
2		remul 11582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
3	1, 2	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
4		recj 11577	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
6	5	oveq2d 6074	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))
7		imcj 11585	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
9	8	oveq2d 6074	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)))
10		imcl 11564	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 8318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12		imcl 11564	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8318	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 8686	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
16	9, 15	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
17	6, 16	oveq12d 6076	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
18		recl 11563	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	recnd 8318	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
20		recl 11563	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 8318	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
22		mulcl 8270	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
24		mulcl 8270	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
25	11, 13, 24	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
26	23, 25	subnegd 8607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
27	3, 17, 26	3eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   + caddc 8146   · cmul 8148   − cmin 8460  -cneg 8461  ∗ccj 11549  ℜcre 11550  ℑcim 11551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-2 9313  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554

This theorem is referenced by:  cjmulval  11598  ipcni  11644  ipcnd  11677