Theorem recl 11640

Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recl	|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )

Proof of Theorem recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 11636	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) )
2		cjth 11633	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A + ( * ` A ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( * ` A ) ) ) e. RR ) )
3	2	simpld 112	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + ( * ` A ) ) e. RR )
4	3	rehalfcld 9563	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) e. RR )
5	1, 4	eqeltrd 2315	1 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   _ici 8187   + caddc 8188   x. cmul 8190   - cmin 8504   / cdiv 9010   2c2 9364   *ccj 11626   Recre 11627

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-2 9372  df-cj 11629  df-re 11630

This theorem is used by:  imcl  11641  ref  11642  crre  11644  remim  11647  reim0b  11649  rereb  11650  mulreap  11651  cjreb  11653  recj  11654  reneg  11655  readd  11656  resub  11657  remullem  11658  remul2  11660  redivap  11661  imcj  11662  imneg  11663  imadd  11664  immul2  11667  cjadd  11671  ipcnval  11673  cjmulval  11675  cjmulge0  11676  cjneg  11677  imval2  11681  sq01  11682  cnrecnv  11698  recli  11699  recld  11726  cnreim  11766  abs00ap  11850  absrele  11872  releabs  11885  efeul  12526  absef  12562  absefib  12563  efieq1re  12564  abscxp  16150