Theorem recl 11023

Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recl	|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )

Proof of Theorem recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 11019	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) )
2		cjth 11016	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A + ( * ` A ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( * ` A ) ) ) e. RR ) )
3	2	simpld 112	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + ( * ` A ) ) e. RR )
4	3	rehalfcld 9243	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) e. RR )
5	1, 4	eqeltrd 2273	1 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7882   RRcr 7883   _ici 7886   + caddc 7887   x. cmul 7889   - cmin 8202   / cdiv 8704   2c2 9046   *ccj 11009   Recre 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-mulrcl 7983  ax-addcom 7984  ax-mulcom 7985  ax-addass 7986  ax-mulass 7987  ax-distr 7988  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-1rid 7991  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-precex 7994  ax-cnre 7995  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltwlin 7997  ax-pre-lttrn 7998  ax-pre-apti 7999  ax-pre-ltadd 8000  ax-pre-mulgt0 8001  ax-pre-mulext 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-xr 8070  df-ltxr 8071  df-le 8072  df-sub 8204  df-neg 8205  df-reap 8607  df-ap 8614  df-div 8705  df-2 9054  df-cj 11012  df-re 11013

This theorem is referenced by:  imcl  11024  ref  11025  crre  11027  remim  11030  reim0b  11032  rereb  11033  mulreap  11034  cjreb  11036  recj  11037  reneg  11038  readd  11039  resub  11040  remullem  11041  remul2  11043  redivap  11044  imcj  11045  imneg  11046  imadd  11047  immul2  11050  cjadd  11054  ipcnval  11056  cjmulval  11058  cjmulge0  11059  cjneg  11060  imval2  11064  cnrecnv  11080  recli  11081  recld  11108  cnreim  11148  abs00ap  11232  absrele  11253  releabs  11266  efeul  11904  absef  11940  absefib  11941  efieq1re  11942  abscxp  15198