Theorem recl 11279

Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recl	|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )

Proof of Theorem recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 11275	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) )
2		cjth 11272	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A + ( * ` A ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( * ` A ) ) ) e. RR ) )
3	2	simpld 112	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + ( * ` A ) ) e. RR )
4	3	rehalfcld 9319	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) e. RR )
5	1, 4	eqeltrd 2284	1 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   _ici 7962   + caddc 7963   x. cmul 7965   - cmin 8278   / cdiv 8780   2c2 9122   *ccj 11265   Recre 11266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-2 9130  df-cj 11268  df-re 11269

This theorem is referenced by:  imcl  11280  ref  11281  crre  11283  remim  11286  reim0b  11288  rereb  11289  mulreap  11290  cjreb  11292  recj  11293  reneg  11294  readd  11295  resub  11296  remullem  11297  remul2  11299  redivap  11300  imcj  11301  imneg  11302  imadd  11303  immul2  11306  cjadd  11310  ipcnval  11312  cjmulval  11314  cjmulge0  11315  cjneg  11316  imval2  11320  cnrecnv  11336  recli  11337  recld  11364  cnreim  11404  abs00ap  11488  absrele  11509  releabs  11522  efeul  12160  absef  12196  absefib  12197  efieq1re  12198  abscxp  15502