ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recl Unicode version

Theorem recl 10632
Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
recl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem recl
StepHypRef Expression
1 reval 10628 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
2 cjth 10625 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( * `  A ) ) )  e.  RR ) )
32simpld 111 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR )
43rehalfcld 8973 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
51, 4eqeltrd 2216 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   _ici 7629    + caddc 7630    x. cmul 7632    - cmin 7940    / cdiv 8439   2c2 8778   *ccj 10618   Recre 10619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-2 8786  df-cj 10621  df-re 10622
This theorem is referenced by:  imcl  10633  ref  10634  crre  10636  remim  10639  reim0b  10641  rereb  10642  mulreap  10643  cjreb  10645  recj  10646  reneg  10647  readd  10648  resub  10649  remullem  10650  remul2  10652  redivap  10653  imcj  10654  imneg  10655  imadd  10656  immul2  10659  cjadd  10663  ipcnval  10665  cjmulval  10667  cjmulge0  10668  cjneg  10669  imval2  10673  cnrecnv  10689  recli  10690  recld  10717  cnreim  10757  abs00ap  10841  absrele  10862  releabs  10875  efeul  11448  absef  11483  absefib  11484  efieq1re  11485
  Copyright terms: Public domain W3C validator