Theorem recj 10639

Description: Real part of a complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recj	|- ( A e. CC -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` A ) )

Proof of Theorem recj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10625	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 7794	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 7715	. . . . . 6 |- _i e. CC
4		imcl 10626	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 7747	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 410	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	negsubd 8079	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9		mulneg2 8158	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
10	3, 5, 9	sylancr 410	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
11	10	oveq2d 5790	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
12		remim 10632	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
13	8, 11, 12	3eqtr4rd 2183	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
14	13	fveq2d 5425	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) )
15	4	renegcld 8142	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
16		crre 10629	. . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( Im ` A ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
17	1, 15, 16	syl2anc 408	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
18	14, 17	eqtrd 2172	1 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   _ici 7622   + caddc 7623   x. cmul 7625   - cmin 7933   -ucneg 7934   *ccj 10611   Recre 10612   Imcim 10613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-2 8779  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616

This theorem is referenced by:  cjcj  10655  ipcnval  10658  recji  10691  recjd  10721