Theorem recj 11582

Description: Real part of a complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recj	|- ( A e. CC -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` A ) )

Proof of Theorem recj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 11568	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 8320	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 8240	. . . . . 6 |- _i e. CC
4		imcl 11569	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 8320	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 8272	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	negsubd 8609	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9		mulneg2 8689	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
10	3, 5, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
11	10	oveq2d 6076	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
12		remim 11575	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
13	8, 11, 12	3eqtr4rd 2278	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
14	13	fveq2d 5681	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) )
15	4	renegcld 8673	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
16		crre 11572	. . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ -u ( Im ` A ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
17	1, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( Re ` A ) )
18	14, 17	eqtrd 2267	1 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( * ` A ) ) = ( Re ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   CCcc 8143   RRcr 8144   _ici 8147   + caddc 8148   x. cmul 8150   - cmin 8463   -ucneg 8464   *ccj 11554   Recre 11555   Imcim 11556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-2 9318  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559

This theorem is referenced by:  cjcj  11598  ipcnval  11601  recji  11635  recjd  11665